Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
В.А. Зорич, Математический анализ (Часть 1)
• Бесплатно скачать книгу, 5.83 Мб, формат .djvu
Рекомендуемый в вузах курс матанализа, Москва, 1981
Бесплатно скачать 49.4 Мб - учебники по матанализу rar-распаковывающимся одним архивом
Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения
§ 1. Логическая символика
1. Связки и скобки (1).
2. Замечания о доказательствах (3).
3. Некоторые специальные обозначения (3).
4. Заключительные замечания (3).
Упражнения (4).
§ 2. Множество и элементарные операции над множествами
1. Понятие множества (5).
2. Отношение включения (7).
3. Простейшие операции над множествами (8).
Упражнения (10).
§ 3. Функция
1. Понятие функции (отображения) (11).
2. Простейшая классификация отображений (15).
3. Композиция функций взаимно обратные отображения (16).
4. Функция как отношение. График функции (19).
Упражнения (22).
§ 4. Некоторые дополнения
1. Мощность множества (кардинальные числа) (25). 1. Об аксиоматике теории множеств (26).
2. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств (29).
Упражнения (31).
Глава II. Действительные (вещественные) числа
§ 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных
чисел
1. Определение множества действительных чисел (33).
2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел (37).
3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества (41).
§ 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты
операций с действительными числами
1. Натуральные числа и принцип математической индукции (43).
2. Рациональные и иррациональные числа (46).
3. Принцип Архимеда (50).
4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами (52).
Задачи и упражнения (64).
§ 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных
чисел
1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши- антора) (68).
2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега (69).
3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано-Вейерштрасса (69).
§ 4. Счетные и несчетные множества
1. Счетные множества (71).
2. Мощность континуума (73).
Глава III. Предел
§ 1. Предел последовательности
1. Определения и примеры (77).
2. Свойства предела последовательности (79).
3. Вопросы существования предела последовательности (83).
4. Начальные сведения о рядах (92).
§ 2. Предел функции
1. Определения и примеры (105).
2. Свойства предела функции (109).
3. Общее определение предела функции (предел по базе) (124).
4. Во
просы существования предела функции (128).
Глава IV. Непрерывные функции
§ 1. Основные определения и примеры
1. Непрерывность функции в точке (148).
2. Точки разрыва (153).
§ 2. Свойства непрерывных функций
1. Локальные свойства (156).
2. Глобальные свойства непрерывных функций (157).
Глава V. Дифференциальное исчисление
§ 1. Дифференцируемая функция
1. Задача и наводящие соображения (170).
2. Функция, дифференцируемая в точке (175).
3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала (177).
4. Роль системы координат (180).
5. Некоторые примеры (182).
§ 2. Основные правила дифференцирования
1. Дифференцирование и арифметические операции (189).
2. Дифференцирование композиции функций (192).
3. Дифференцирование обратной функции (196).
4. Таблица производных основных элементарных функций (200).
5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функции (200).
6. Производные высших порядков (205).
§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления
1. Лемма Ферма и теорема Ролля (210).
2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении (212).
3. Формула Тейлора (215).
§ 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления
1. Условия монотонности функции (231).
2. Условия внутреннего экстремума функции (232).
3. Условия выпуклости функции (238).
4. Правило Лопиталя (245).
5. Построение графика функции (246).
§ 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций 2
1. Комплексные числа (258).
2. Сходимость в С и ряды с комплексными членами (262).
3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций (267).
4. Представление функции степенным рядом, аналитичность (270).
5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел (275).
§ 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в
задачах естествознания
1. Движение тела переменной массы (283).
2. Барометрическая формула (285).
3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел (287).
4. Падение тел в атмосфере (289).
5. Еще раз о числе е и функции (291).
6. Колебания (293).
§ 7. Первообразная
1. Первообразная и неопределенный интеграл (301).
2. Основные общие приемы отыскания первообразной (303).
3. Первообразные рациональных функций (309).
4. Первообразные вида (314).
5. Первообразные вида (316).
Глава VI. Интеграл
§ 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций
1. Задача и наводящие соображения (324).
2. Определение интеграла Римана (326).
3. Множество интегрируемых функций (328).
§ 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла
1. Интеграл как линейная функция на пространстве (342).
2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования (342).
3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем (345).
§ 3. Интеграл и производная
1. Интеграл и первообразная (354).
2. Формула Ньютона-Лейбница (356).
3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора (357).
4. Замена переменной в интеграле (359).
5. Некоторые примеры (361).
§ 4. Некоторые приложения интеграла
1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл (369).
2. Длина пути (371).
3. Площадь криволинейной трапеции (377).
4. Объем тела вращения (378).
5. Работа и энергия (379).
§ 5. Несобственный интеграл
1. Определения, примеры и основные свойства несобственных интегралов (386).
2. Исследование сходимости несобственного интеграла (391).
3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями (398).
Глава VII. Функции многих переменных, их предел и непрерывность
§ 1. Пространство Rm и важнейшие классы его подмножеств
1. Множество Rm и расстояние в нем (403).
2. Открытые и замкнутые множества в Rm (405).
3. Компакты в Rm (408).
Задачи и упражнения (409).
§ 2. Предел и непрерывность функции многих переменных
1. Предел функции (410).
2. Непрерывность функции многих переменных и свойства непрерывных функций (415).
Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§ 1. Линейная структура в Rm 4
1. Rm как векторное пространство (421).
2. Линейные отображения (422).
3. Норма в Rm (423).
4. Евклидова структура в Rm (425).
§ 2. Дифференциал функции многих переменных
1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке (426).
2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции (427).
3. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби (430).
4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке (431).
§ 3. Основные законы дифференцирования
1. Линейность операции дифференцирования (432).
2. Дифференцирование композиции отображений (434).
3. Дифференцирование обратного отображения (440).
§ 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных
функций многих переменных
1. Теорема о среднем (447).
2. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных (449).
3. Частные производные высшего порядка (450).
4. Формула Тейлора (453).
5. Экстремумы функций многих переменных (454).
6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных (461).
§ 5. Теорема о неявной функции
1. Постановка вопроса и наводящие соображения (471).
2. Простейший вариант теоремы о неявной функции (473).
3. Переход к случаю зависимости F(x1, ..., хn, у) = 0 (477).
4. Теорема о неявной функции (480).
§ 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции
1. Теорема об обратной функции (489).
2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду (493).
3. Зависимость функций (497).
4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших (499).
5. Лемма Морса (501).
§ 7. Поверхность в Rn и теория условного экстремума
1. Поверхность размерности к в Rn (506).
2. Касательное пространство (511).
3. Условный экстремум (516).
Краткая аннотация книги
В книге отражена связь курса классического анализа с современными математическими курсами (алгебры, дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений, комплексного и функционального анализа). Основные разделы первой части: введение в анализ (логическая символика, множество, функция, вещественное число, предел, непрерывность); дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной; дифференциальное исчисление функций многих переменных. Органической частью текста являются примеры приложений развиваемой теории, а также большое количество задач. Второе издание дополнено вопросами и задачами коллоквиумов и экзаменов.
Для студентов университетов, обучающихся по специальности "Математика" и "Механика". Может быть полезна студентам факультетов и вузов с расширенной программой по математике, а так же специалистам в области математики и ее приложений.
Примечание. Сохраняйте книги на мобильный телефон и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.