Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
А.Е. Умнов, Аналитическая геометрия и линейная алгебра
• Бесплатно скачать книгу, объем 2.00 Мб, формат .djvu
Аналитическая геометрия и линейная алгебра. 366 с.
Раздел 1. Векторы и линейные операции с ними
§ 1.1. Матричные объекты
§ 1.2. Направленные отрезки
§ 1.3. Определение множества векторов
§ 1.4. Линейная зависимость векторов
§ 1.5. Базис. Координаты вектора в базисе
§ 1.6. Действия с векторами в координатном представлении
§ 1.7. Декартова система координат
§ 1.8. Изменение координат при замене базиса и начала координат
Раздел 2. Произведения векторов
§ 2.1. Ортогональное проектирование
§ 2.2. Скалярное произведение векторов и его свойства
§ 2.3. Выражение скалярного произведения в координатах
§ 2.4. Векторное произведение векторов и его свойства
§ 2.5. Выражение векторного произведения в координатах
§ 2.6. Смешанное произведение
§ 2.7. Выражение смешанного произведения в координатах
§ 2.8. Двойное векторное произведение
§ 2.9. Замечания об инвариантности произведений векторов
Раздел 3. Прямая и плоскость
§ 3.1. Прямая на плоскости
§ 3.2. Формы задания прямой на плоскости
§ 3.3. Плоскость в пространстве
§ 3.4. Формы задания прямой в пространстве
§ 3.5. Решение геометрических задач методами векторной алгебры
Раздел 4. Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве
§ 4.1. Линии на плоскости и в пространстве
§ 4.2. Поверхности в пространстве
§ 4.3. Цилиндрические и конические поверхности
§ 4.4. Линии второго порядка на плоскости
§ 4.5. Поверхности второго порядка в пространстве
§ 4.6. Альтернативные системы координат
Раздел 5. Преобразования плоскости
§ 5.1. Умножение матриц
§ 5.2. Операторы и функционалы. Отображения и
преобразования плоскости
§ 5.3. Линейные операторы на плоскости
§ 5.4. Аффинные преобразования и их свойства
§ 5.5. Ортогональные преобразования плоскости
§ 5.6. Понятие группы
Раздел 6. Системы линейных уравнений
§ 6.1 Определители
§ 6.2 Свойства определителей
§ 6.3. Разложение определителей
§ 6.4. Правило Крамера
§ 6.5. Ранг матрицы
§ 6.6. Системы t линейных уравнений с n неизвестными
§ 6.7. Фундаментальная система решений
§ 6.8. Метод Гаусса
Раздел 7. Линейное пространство
§ 7.1. Определение линейного пространства
§ 7.2. Линейная зависимость, размерность и базис
в линейном пространстве
§ 7.3. Подмножества линейного пространства
§ 7.4. Операции с элементами линейного пространства
в координатном представлении
§ 7.5. Изоморфизм линейных пространств
Раздел 8. Линейные зависимости в линейном пространстве
§ 8.1. Линейные операторы
§ 8.2. Действия с линейными операторами
§ 8.3. Координатное представление линейных операторов
§ 8.4. Область значений и ядро линейных операторов
§ 8.5. Инвариантные подпространства и собственные векторы
§ 8.6. Свойства собственных векторов и собственных значений
§ 8.7. Линейные функционалы
Раздел 9. Нелинейные зависимости в линейном пространстве
§ 9.1. Билинейные функционалы
§ 9.2. Квадратичные функционалы
§ 9.3. Исследование знака квадратичного функционала
§ 9.4. Инварианты линий второго порядка на плоскости
§ 9.5. Экстремальные свойства квадратичного функционала
§ 9.6. Полилинейные функционалы
Раздел 10. Евклидово пространство
§ 10.1. Определение и основные свойства
§ 10.2. Ортонормированный базис. Ортогонализация базиса
§ 10.3. Координатное представление скалярного произведения
§ 10.4. Ортогональные матрицы в евклидовом пространстве
§ 10.5. Ортогональные дополнения и ортогональные проекции
в евклидовом пространстве
§ 10.6. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве
§ 10.7. Самосопряженные операторы
§ 10.8. Ортогональные операторы
Раздел 11. Унитарное пространство
§ 11.1. Определение унитарного пространства
§ 11.2. Линейные операторы в унитарном пространстве
§ 11.3. Эрмитовы операторы
§ 11.4. Эрмитовы функционалы. Среднее значение и дисперсия
эрмитова оператора
§ 11.5. Соотношение неопределенностей
Раздел 12. Прикладные задачи линейной алгебры
§ 12.1. Приведение квадратичных функционалов
к диагональному виду
§ 12.2. Классификация поверхностей второго порядка
§ 12.3. Аппроксимация функций многочленами
Приложение 1. Свойства линий второго порядка на плоскости
§ Пр.1.1. Вырожденные случаи линий второго порядка
§ Пр.1.2. Эллипс и его свойства
§ Пр.1.3. Гипербола и ее свойства
§ Пр.1.4. Парабола и ее свойства
Приложение 2. Свойства поверхностей второго порядка
§ Пр.2.1. Вырожденные поверхности второго порядка
§ Пр.2.2. Эллипсоид
§ Пр.2.3. Эллиптический параболоид
§ Пр.2.4. Гиперболический параболоид
§ Пр.2.5. Однополостный гиперболоид
§ Пр.2.6. Двуполостный гиперболоид
§ Пр.2.7. Поверхности вращения
Приложение 3. Комплексные числа
Приложение 4. Элементы тензорного исчисления
§ Пр.4.1. Замечания об определении объектов
в линейном пространстве
§ Пр.4.2. Определение и обозначение тензоров
§ Пр.4.3. Операции с тензорами
§ Пр.4.4. Тензоры в евклидовом пространстве
§ Пр.4.5. Тензоры в ортонормированном базисе
Краткая аннотация книги
Отличительной чертой системы подготовки специалистов в Московском физико-техническом институте - "Школы Физтеха", является сочетание интенсивности обучения с высоким уровнем детализации и глубины изучаемых предметов, в первую очередь естественных наук. Кафедра высшей математики МФТИ как важный элемент этой системы с момента образования института продолжает вносить существенный вклад в ее формирование и совершенствование.
В активе кафедры колоссальный опыт в виде учебных курсов, оригинальных лекций по многим разделам современной математики, системы заданий, методических разработок, приемов, внутрикафедральных материалов, наконец, педагогического фольклора. На кафедре сформировался коллектив преподавателей, педагогически одаренных и обладающих педагогическим мастерством. Поэтому вполне естественно стремление сделать этот опыт всеобщим достоянием.
Многое уже отражено в известных учебниках, задачниках, созданных выдающимися математиками и педагогами, среди которых В.С.Владимиров, СМ. Никольский, Л.Д.Кудрявцев, М.В.Федорюк и многие другие. Без сомнения, эти ставшие уже классическими учебные пособия оказали и оказывают существенное влияние на математическое образование, как в России, так и за ее пределами.
Вместе с тем, есть еще немало того, что несомненно будет существенно полезным для улучшения подготовки специалистов. Естественным путем для выявления этого опыта, как нам представляется, могла бы быть серия "Лекции кафедры высшей математики МФТИ", и мы будем благодарны всем, кто окажет поддержку и посильную помощь в осуществлении данного проекта.
В настоящем издании читателю предлагается одна из книг задуманной серии - расширенный курс лекций, который профессор А.Е.Умнов ряд лет читает студентам первого курса Московского физико-технического института. Подготовка первого издания осуществлена при поддержке ООО "Промфинэнерго".
По содержанию и стилю изложения материала данная книга рассчитана на студентов физико-математических и технических специальностей высших учебных заведений с углубленной подготовкой по математике. В ней представлены как традиционные разделы аналитической геометрии, теории матриц, теории линейных систем и конечномерных векторных пространств, так и некоторые дополнительные разделы линейной алгебры, важные для студентов физических специальностей.
На кафедре высшей математики МФТИ лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре в разное время читали многие выдающиеся ученые и педагоги, такие как Ф.Р.Гантмахер, В.Б.Лидский, А.А.Абрамов, Д.В.Беклемишев, В.А.Треногин и другие. Сам автор, будучи последовательно студентом, аспирантом, преподавателем и профессором этой кафедры, не мог не испытать влияния своих учителей. Структура и дух его лекций вполне традиционны для кафедры высшей математики МФТИ. В изложении материала автор успешно сочетает, не злоупотребляя абстракциями, достаточно высокий уровень строгости с простотой и ясностью.
Предлагаемый читателям курс лекций А.Е.Умнова "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" рекомендован кафедрой высшей математики Московского физико-технического института в качестве учебного пособия для студентов МФТИ. Эта книга также может быть использована в качестве учебного пособия и в других учебных заведениях с расширенной подготовкой по высшей математике.
Данное пособие предназначено для студентов физических и технических специальностей высших учебных заведений с расширенной подготовкой по высшей математике. Его основной целью является введение в теорию линейных пространств - математический аппарат, используемый в разнообразных прикладных дисциплинах: от квантовой механики до методов оптимального управления. Имея в виду особую терминологическую специфику этой теории, ее описание предваряется изложением основ евклидовой геометрии, выполненным при помощи понятий, характерных для теории линейных пространств.
Включенный в пособие материал в основном соответствует программе курса "Аналитическая геометрия и линейная алгебра", читаемого для студентов первого курса Московского физико-технического института. В пособии также рассматриваются некоторые дополнительные вопросы, облегчающие изучение студентами математического аппарата теоретической физики и, в первую очередь, квантовой механики. Задачи, небольшое число которых включено в состав пособия, по мнению автора, существенны для понимания курса в целом.
Примечание. Сохраняйте книги на мобильный телефон и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.