Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, Уравнения математической физики
• Бесплатно скачать книгу, объем 5.51 Мб, формат .djvu
Глава I. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
§ 1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка
1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными
3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами
Глава II. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Постановка краевых задач
1. Уравнение малых поперечных колебаний струны
2. Уравнение продольных колебаний стержней и струн
3. Энергия колебания струны
4. Вывод уравнения электрических колебаний в проводах
5. Поперечные колебания мембраны
6. Уравнения гидродинамики и акустики
7. Граничные и начальные условия
8. Редукция общей задачи
9. Постановка краевых задач для случая многих переменных
10. Теорема единственности
§ 2. Метод распространяющихся волн
1. Формула Даламбера
2. Физическая интерпретация
3. Примеры
4. Неоднородное уравнение
5. Устойчивость решений
6. Полуограничениая прямая и метод продолжений
7. Задачи для ограниченного отрезка
8. Дисперсия волн
9. Интегральное уравнение колебаний
10. Распространение разрывов вдоль характеристик
§ 3. Метод разделения переменных
1. Уравнение свободных колебаний струны
2. Интерпретация решения
3. Представление произвольных колебаний в виде суперпозиции стоячих волн
4. Неоднородные уравнения
5. Общая первая краевая задача
6. Краевые задачи со стационарными неоднородностями
7. Задачи без начальных условий
8. Сосредоточенная Сила
9. Общая схема метода разделения переменных
§ 4. Задачи с данными на характеристиках
1. Постановка задачи
2. Метод последовательных приближений для задачи Гурса
§ 5. Решение общих линейных уравнений гиперболического типа
1. Сопряженные дифференциальные операторы
2. Интегральная форма решения
3. физическая интерпретация функции Римана
4. Уравнения с постоянными коэффициентами
к главе II
Приложения к главе II
I. О колебании струн музыкальных инструментов
II. О колебании стержней
III. Колебания нагруженной струны
1. Постановка задачи
2. Собственные колебания нагруженной струны
3. Струна с грузом на конце
4. Поправки для собственных значений
IV. Уравнения газодинамики и теория ударных волн
1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии
2. Ударные волны. Условия динамической совместности
3. Слабые разрывы
V. Динамика сорбции газов
1. Уравнения, описывающие процесс сорбции газа
2. Асимптотическое решение
VI. Физические аналогии
Глава III. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Постановка краевых задач
1. Линейная задача о распространении тепла
2. Уравнение диффузии
3. Распространение тепла в пространстве
4. Постановка краевых задач
5. Принцип максимального значения
6. Теорема единствениости
7. Теорема единств ениости для бесконечной прямой
§ 2. Метод разделения переменных
1. Однородная краевая задача
2. Функция источника
3. Краевые задачи с разрывными начальными условиями
4. Неоднородное уравнение теплопроводности
5. Общая первая краевая задача
§ 3. Задачи на бесконечной прямой
1. Распространение тепла на бесконечной прямой. Функция
источника для неограниченной области
2. Краевые задачи для полу ограниченной прямой
§ 4. Задачи без начальных условий к главе III
Приложения к главе III
I. Температурные волны
II. Влияние радиоактивного распада на температуру земной коры
III. Метод подобия в теории теплопроводности
1. Функция источника для бесконечной прямой
2. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности
IV. Задача о фазовом переходе
V. Уравнение Эйнштейна-Колмогорова
VI. -функция
1. Определение 5 -функции
2. Разложение 5 -функции в ряд Фурье
3. Применение 5 -функции к построению функции источника
Глава IV. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач
2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока
и электростатического поля
2.
3. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат
4. Некоторые частные решения уравнения Лапласа
5. Гармонические функции и аналитические функции комплексного переменного
6. Преобразование обратных радиусов-векторов
§ 2. Общие свойства гармонических функции
1. Формулы Грина. Интегральное представление решения
2. Некоторые основные свойства гармонических функций
3. Единственность и устойчивость первой краевой задачи
4. Задачи с разрывными граничными условиями
5. Изолированные особые точки
6. Регулярность гармонической функции трех переменных в бесконечности
7. Внешние краевые задачи. Единственность решения для двух- и трехмерных задач
8. Вторая краевая задача. Теорема единственности
§ 3. Решение краевых задач для простейших областей методом разделения переменных
1. Первая краевая задача для круга
2. Интеграл Пуассона
3. Случай разрывных граничных значений
§ 4. Функция источника
1. функция источника для уравнения и ее основные свойства
2. Метод электростатических изображений и функция источника для сферы
3. Функция источника для круга
4. Функция источника для полупространства
§ 5. Теория потенциала
1. Объемный потенциал
2. Плоская задача. Логарифмический потенциал
3. Несобственные интегралы
4. Первые производные объемного потенциала
5. Вторые производные объемного потенциала
6. Поверхностные потенциалы
7. Поверхности и кривые Ляпунова
8. Разрыв потенциала двойного слоя
9. Свойства потенциала простого слоя
10. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач
11. Интегральные уравнения, соответствующие краевым задачам
к главе IV
Приложения к главе IV
I. Асимптотическое выражение объемного потенциала
II. Задачи электростатики
III. Основная задача электроразведки
IV. Определение векторных полей
V. Применение метода конформного преобразования в электростатике
VI. Применение метода конформного преобразования в гидродинамике
VII. Бигармоническое уравнение
1. Единственность решения
2. Представление бигармонических функций через гармонические функции
3. Решение бигармонического уравнения для круга
Глава V. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Задача с начальными условиями
1. Уравнение колебаний в пространстве
2. Метод усреднения
3. Формула Пуассона
4. Метод спуска
5. Физическая интерпретация
6. Метод отражения
§ 2. Интегральная формула
1. Вывод интегральной формулы
2. Следствия из интегральной формулы
§ 3. Колебания ограниченных объемов
1. Общая схема метода разделения переменных. Стоячие волны
2. Колебания прямоугольной мембраны
3. Колебания круглой мембраны к главе V
Приложения к главе V
I. Приведение уравнений теории упругости к уравнениям колебаний
II. Уравнения электромагнитного поля
1. Уравнения электромагнитного поля и граничные условия
2. Потенциалы электромагнитного поля
3. Электромагнитное поле осциллятора
Глава VI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Распространение тепла в неограниченном пространстве
1. Функция температурного влияния
2. Распространение тепла в неограниченном пространстве
§ 2. Распространение тепла в ограниченных телах
1. Схема метода разделения переменных
2. Остывание круглого цилиндра
3. Определение критических размеров
§ 3. Краевые задачи для областей с подвижными границами
1. Формула Грина для уравнения теплопроводности и функция источника
2. Решение краевой задачи
3. функция источника для отрезка
§ 4. Тепловые потенциалы
1. Свойства тепловых потенциалов простого и двойного слоя
2. Решение краевых задач
I. Диффузия облака
II. О размагничивании цилиндра с обмоткой
Глава VII. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 1. Основные задачи, приводящие к уравнению Лапласса
1. Установившиеся колебания
2. Диффузия газа при наличии распада и при цепных реакциях
3. Диффузия в движущейся среде
4. Постановка внутренних краевых задач для уравнения Лапласса
§ 2. Функции влияния точечных источников
1. Функции влияния точечных источников
2. Интегральное представление решения
3. Потенциалы
§ 3. Задачи для неограниченной области. Принцип излучения
1. Уравнение Лапласса неограниченном пространстве
2. Принцип предельного поглощения
3. Принцип предельной амплитуды
4. Условия излучения
§ 4. Задачи математической теории дифракции
1. Постановка задачи
2. Единственность решения задачи дифракции
3. Дифракция на сфере
I. Волны в цилиндрических трубах
II. Электромагнитные колебания в полых резонаторах
1. Собственные колебания цилиндрического эидовибратора
2. Электромагнитная энергия собственных колебаний
3. Возбуждение колебаний в эидовибраторе
III. Скни-эффект
IV. Распространение радиоволн над поверхностью земли
Дополнение I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
§ 1. Основные понятия
1. Сетки и сеточные функции
2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов
3. Разностная задача
4. Устойчивость
§ 2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности
1. Схемы для уравнения с постоянными коэффициентами
2. Погрешность аппроксимации
3. Энергетическое тождество
4. Устойчивость
5. Сходимость и точность
6. Разностные схемы для уравнений с переменными коэффициентами
7. Метод баланса. Консервативные схемы
8. Двухслойные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами
9. Трехслойные схемы
10. Решение систем разностных уравнений. Метод прогонки
11. Разностные методы решения квазилинейных уравнений
§ 3. Метод конечных разностей для решения задачи Дирихле
1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа
2. Принцип максимума
3. Оценка решения неоднородного уравнения
4. Сходимость решения разностной задачи Дирихле
5. Решение разностных уравнений методом простой итерации
§ 4. Разностные методы решения задач с несколькими пространственными переменными
1. Многомерные схемы
2. Экономичные схемы
3. Итерационные методы переменных направлений для решения
разностной задачи Дирихле
Дополнение II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Введение
2. Общее уравнение теории специальных функций
3. Поведение решений в окрестности
4. Постановка краевых задач
Часть I. Цилиндрические функции
§ 1. Цилиндрические функции
1. Степенные ряды
2. Рекуррентные формулы
3. Функции полуцелого порядка
4. Асимптотический порядок цилиндрических функций
§ 2. Краевые задачи для уравнения Бесселя
§ 3. Различные типы цилиндрических функций
1. Функции Ханкеля
2. Функции Ханкеля и Неймана
3. Функции мнимого аргумента
4. Функция К0(x)
§ 4. Представление цилиндрических функций в виде контурных интегралов
1. Контурные интегралы
2. функции Ханкеля
3. Некоторые свойства гамма-функции
4. Интегральное представление функции Бесселя
5. Интегральное представление
6. Асимптотические формулы для цилиндрических функций
§ 5. Интеграл Фурье-Бесселя и некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя
1. Интеграл Фурье-Бесселя
2. Некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя
Часть II. Сферические функции
§ 1. Полиномы Лежандра
1. Производящая функция и полиномы Лежандра
2. Рекуррентные формулы
3. Уравнение Лежандра
4. Ортогональность полиномов Лежандра
5. Норма полиномов Лежандра
6. Нули полиномов Лежандра
7. Ограниченность полиномов Лежандра
§ 2. Присоединенные функции Лежандра
1. Присоединенные функции
2. Норма присоединенных функций
3. Замкнутость системы присоединенных функций
§ 3. Гармонические полиномы и сферические функции
1. Гармонические полиномы
2. Сферические функции
3. Ортогональность системы сферических функций
4. Полнота системы сферических функций
5. Разложение по сферическим функциям
§ 4. Некоторые примеры применения сферических функций
1. Задача Дирихле для сферы
2. Проводящая сфера в поле точечного заряда
3. Поляризация шара в однородном поле
4. Собственные колебания сферы
5. Внешняя краевая задача для сферы
Часть III. Полиномы Чебышева-Эрмнта и Чебышева-Лагерра
§ 1. Полиномы Чебышева-Эрмита
1. Дифференциальная формула
2. Рекуррентные формулы
3. Уравнение Чебышёва-Эрмита
4. Норма полиномов Н(х)
5. функции Чебышева-Эрмита
§ 2. Полиномы Чебышёва-Лагерра
1. Дифференциальная формула
3. Уравнение Чебышёва-Лагерра
4. Ортогональность и норма полиномов Чебышёва-Лагерра
5. Обобщенные полиномы Чебышёва-Лагерра
§ 3. Простейшие задачи для уравнения Шредингера
1. Уравнение Шредингера
2. Гармонический осциллятор
3. Ротатор
4. Движение электрона в кулоновском поле
Часть IV. Формулы, таблицы и графики
I. Основные свойства специальных функции
II. Таблицы
III. Графики специальных функций
IV. Различные ортогональные системы координат
Краткая аннотация книги
В книге рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными. Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа. Особое внимание уделяется математической постановке задач, строгому изложению решения простейших задач и физической интерпретации результатов. В каждой главе помещены задачи и примеры. В основу книги положены лекции, читавшиеся на физическом факультете МГУ.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Мы внесли лишь исправления опечаток, обнаруженных в четвертом издании.
1977 А. Н. Тихонов. А. А. Самарский
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Мы внесли лишь небольшие изменения в Дополнение I и во введение к Дополнению II.
Приносим свою благодарность А. Ф. Никифорову и И. С. Гущину за ряд ценных замечаний.
1972 А. И. Тихонов, А. А. Самарский
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В настоящее издание внесен ряд изменений и дополнений. Наибольшему изменению подверглись разделы, касающиеся разностных методов решения уравнений математической физики. Они объединены в виде Дополнения I.
Мы считаем своим приятным долгом выразить благодарность В. Я. Арсенину за ряд ценных замечаний, а также В. В. Кравцову за большую помощь при подготовке этого издания.
1966 А. И. Тихонов, А. А. Самарский
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании устранены опечатки и неточности, замеченные в первом издании. Некоторые разделы, особенно в главах IV и VI, подверглись переработке. Написано новое приложение к главе VI.
Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность В. И. Смирнову за большое число ценных замечаний, а также А. Г. Свешникову за помощь при подготовке второго издания.
1953 А. Тихонов, А. Самарский
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.
Метод исследования, характеризующий эту отрасль науки, является математическим по своему существу. Однако постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет специфические черты.
Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В предлагаемой книге рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными.
Мы стремились подчинить выбор и изложение материала характеристике типичных физических процессов, в связи с чем расположение материала соответствует основным типам уравнений.
Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа. Особое внимание уделяется математической постановке задач, строгому изложению решения простейших задач и физической интерпретации получаемых результатов. В каждой главе помещены задачи, преследующие, в основном, цель развития технических навыков. Некоторые задачи сами по себе представляют физический интерес. В конце каждой главы помещены приложения, в которых даются примеры применения изложенных в основном тексте методов к решению различных задач физики и техники, а также приводится ряд примеров, выходящих за рамки задач, рассматриваемых в основном тексте. Выбор таких примеров, несомненно, можно сильно варьировать.
Книга содержит лишь часть материала, входящего в курс методов математической физики. В книгу не входят теория интегральных уравнений и вариационные методы. Приближенные методы изложены недостаточно полно.
В основу книги были положены лекции, читавшиеся свыше десяти лет А. Н. Тихоновым на физическом факультете МГУ. Частично содержание этих лекций было отражено в конспектах, изданных в 1948-1949 гг. В предлагаемой книге материал конспектов был расширен и подвергнут коренной переработке.
Мы рады возможности выразить благодарность нашим ученикам и товарищам по работе А. Б. Васильевой, В. Б. Гласко, В. И. Ильину, А. В. Лукьянову, О. И. Панычу, Б. Л. Рождественскому, А. Г. Свешникову и Д. Н. Четаеву, без помощи которых мы вряд ли смогли бы подготовить к печати книгу в короткий срок.
1951 А. Тихонов, А. Самарский
Примечание. Сохраняйте книги на мобильный телефон и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.