Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
Дж. Сансоне, Обыкновенные дифференциальные уравнения
• Бесплатно скачать книгу, объем 3.54 Мб, том 1, формат .djvu
Издательство иностранной литературы, Москва, 1953
Глава I
НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ НИХ
§ 1. Нормальные системы
1. Определения
2. Порядок системы дифференциальных уравнений
3. Нормальные системы
§ 2. Получение систем обыкновенных дифференциальных уравнений путем исключения произвольных постоянных
1. Системы дифференциальных уравнений, полученные путем
исключения произвольных постоянных
2. Обратная задача
§ 3. Доказательство основной теоремы существования и единственности по методу последовательных приближений Пикара-Пеано
1. Формулировка теоремы существования
2. Доказательство теоремы существования по методу последовательных приближений Пикараеано
3. Доказательство Гурса теоремы единственности
4. Дополнения к формулировке теоремы существования
§ 4. Аналитическое продолжение решений. Примеры
1. Аналитическое продолжение решений
2. Система дифференциальных уравнений, определяющая тригонометрические функции
3. Система дифференциальных уравнений, определяющая эллиптические функции Якоби
§ 5. Решения дифференциальных уравнений как функции начальных значений
1. Непрерывность
2. Дифференцируемость
3. Лемма Гронуолла
4. Дифференцируемость по параметру
5. Дифференцируемость по начальным значениям решений
6. Дифференцируемость по начальному значению независимой переменной
7. Общее решение системы дифференциальных уравнений
§ 6. Доказательство теоремы существования по методу Коши- ипшица
1. Геометрические рассмотрения
2. Теорема существования в формулировке Пеано. Доказательство Арцела
3. Доказательство Тоиелли теоремы существования в формулировке Пеано
Глава II
НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕКОТОРЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений
1. Нормальные системы однородных линейных дифференциальных уравнений н линейные дифференциальные уравнения
2. Формулы Лиувилля и Якоби
3. Независимые решения. Фундаментальные системы. Понижение порядка системы линейных однородных уравнений
4. Сопряженная система дифференциальных уравнений
5. Неоднородные линейные системы. Метод Лаграижа
6. Нормальные системы однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
§ 2. Применение матричного исчисления к определению решений системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
1. Сведения по матричному исчислению
2. Матрицант квадратной матрицы
3. Метод Пеано-Бекера
§ 3. Частные преобразования линейных однородных дифференциальных уравнений
1. Преобразование линейного однородного уравнения порядка и в уравнение порядка n-1
2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка и уравнение Риккати
3. Линейные дифференциальные уравнения, у которых коэффициент при … равен производной коэффициента
§ 4. Относительная нормализация и каноническая нормализация линейных однородных дифференциальных уравнений
1. Относительная нормализация и дифференциальные семиинварианты
2. Замена независимой переменной
3. Каноническая нормализация Лагерра-Форсайта
4. Преобразования уравнений второго и третьего порядка
§ 5. Сопряженное уравнение Лаграижа
1. Сопряженные дифференциальные многочлены и уравнения
2. Соотношения между фундаментальными системами решений сопряженных дифференциальных уравнений
3. Самосопряженные дифференциальные уравнения и многочлены
4. Первый интеграл самосопряженного уравнения нечетного порядка
5. Самосопряженные уравнения третьего порядка
§ 6. Преобразование линейного дифференциального уравнения с начальными данными в интегральное уравнение Вольтерра второго рода
Глава III
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕКОТОРЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Метод мажорант (исчисление пределов Коши)
1. Метод Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений при помощи рядов
2. Основной принцип метода мажорант Коши
3. Доказательство теоремы существования методом мажорант
4. Теорема существования в общем случае
5. Метод суммирования Бореля и дифференциальные уравнения
§ 2. Доказательство теоремы существования и единственности с помощью метода последовательных приближений
1. Теорема существования и единственности
2. Замечание Уиитнера относительно области существования
голоморфного решения
3. Применение матричного исчисления для определения фундаментальной системы решений системы линейных дифференциальных уравнений
§ 3. Аналитическая теория линейных дифференциальных уравнений второго порядка
1. Правильные и неправильные особые точки для дифференциального уравнения второго порядка
2. Правильные точки. Определяющее уравнение
3. Сходимоств рядов в случае, когда разность характеристических показателей не является целым числом
4. Построение второго решения в случае, когда характеристические показатели совпадают или отличаются на целое число
5. Правильные особые точки в бесконечности
§ 4. Линейные дифференциальные уравнения с тремя правильными особыми точками. Гипергеометрическое уравнение
1. Уравнение Паперица и функция Р Римана
2. Преобразования Римана для функции Р
3. Гипергеометрическое уравнение Гаусса
4. Гипергеометрическнй ряд
5. Гипергеометрический интеграл Эйлера
§ 5. Гипергеометрические многочлены Якоби
1. Многочлены Якоби
2. Формула Родрига. Производящая функция многочленов
3. Значения Р
4. Рекуррентные формулы
5. Ортогональность многочленов в [- 1,1]
6. Теорема Пуанкаре
7. Ряды по многочленам Якоби в комплексной области
8. Ультрасферические многочлены и их производящая функция
§ 6. Уравнение Бесселя
1. Задача Д. Бернулли о малых колебаниях подвешенной нити и уравневие Бесселя
2. Функции Бесселя (цилиндрические функции) первого рода
3. Функции
4. Интегральные представления бесселевых функций первого рода
5. Другие интегральные представления
6. Рекуррентные соотношения между Jn (х)
7. Интеграл
8. Задача о разложении в ряды по бесселевым функциям
Глава IV
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Задача о нахождении решения дифференциального уравнения n-го порядка, проходящего через m заданных точек
1. Случай, когда уравнение линейно
2. Теорема существования и единственности Валле-Пуссеиа для линейного уравнения
3. Теорема Валле-Пуссена для случая дифференциального уравнения порядка и нормального вида
§ 2. Дифференциальные уравнения второго порядка и теорема сравнения Штурма
1. Исследования Штурма об уравнениях второго порядка
2. Общие замечания относительно уравнений второго порядка
3. Сопряженные точки
4. Достаточное условие для несуществования сопряженных точек
5. Тождество Пиконе
6. Теорема сравнения Штурма
7. Теорема о разделении нулей
8. Теорема сравнения для полуоткрытых отрезков
9. Выпуклость последовательности нулей решений одного дифференциального уравнения второго порядка частного вида
§ 3. Применение теоремы сравнения для отделения нулей ультрасферических многочленов и бесселевых функций в главном случае
1. Нули ультрасферических многочленов
2. Нули бесселевых функций
§ 4. Рсцнлляционная теорема
1. Осцилляционная теорема
2. Осцилляционная теорема для уравнения
§ 5. Решения, обращающиеся в нуль в двух заданных точках. Собственные значения и собственные функции
1. Постановка задачи
2. Разложение оператора второго порядка в произведение операторов первого порядка
3. Выражение для решения на отрезке, содержащем сопряженные точки
4. Теорема существования собственных значений. Доказательство Маммана
5. Собственные значения для уравнения
§ 6. Системы Штурма. Собственные значения. Собственные функции
1. Задача о распределении тепла в тонкой проволоке и системы Штурма
2. Дополнения к теореме сравнения
3. Добавления к осцилляционной теореме
4. Системы Штурма. Существование собственных значений. Теоремы Бохера
5. Системы Штурма. Существование собственных функций с заданным числом нулей. Теоремы Бохера
6. Система Штурма-Лиувилля. Существование собственных значений
7. Ортогональность собственных функций системы Штурма-Лиувилля
8. Достаточные условия действительности всех собственных значений системы Штурма-Лиувилля
§ 7. Асимптотические разложения функций Штурма-Лиувилля
1. Типичная форма систем Штурма-Лиувилля
2. Уравнение для собственных значений
3. Асимптотические выражения для собственных значений и собственных функций
4. Собственные функции, обращающиеся в нуль в двух заданных точках, и нх асимптотические выражения
§ 8. Теорема Дини-Гобсона о равносходимости ряда Штурма-Лиувилля и тригонометрического ряда Фурье
1. Задача о разложении по функциям Штурма-Лиувилля
2. Предварительные леммы
3. Теорема Уолша о равносходимости для рядов по ортогональным функциям
4. Теорема о равносходимости рядов Штурма - Лиувнлля и тригонометрических рядов Фурье
Глава V
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ п-ГО ПОРЯДКА (n>2)
§ 1. Билинейные формы. Канонический вид
§ 2. Сопряженные и самосопряженные дифференциальные системы 1. Дифференциальные системы. Индекс совместности
2. Сопряженные дифференциальные системы
3. Индексы совместности для сопряженных систем
4. Самосопряженные линейные системы
5. Самосопряженные системы второго порядка
6. Самосопряженные системы Штурма-Лиувилля
7. Самосопряженные системы четвертого порядка
§ 3. Функция Грнна н преобразование дифференциальных систем в интегральные уравнения Фредгольма второго рода
1. Функция Грина для самосопряженной системы второго порядка частного вида
2. Функция Грина для дифференциальных систем
3. Запись в виде интеграла решения неоднородной дифференциальной системы, имеющей единственное решение
4. Решения дифференциальных систем как решения интегральных уравнении Фредгольма второго рода
5. Линейные системы, зависящие от параметра. Собственные значения и собственные функции
6. Линейные самосопряженные системы четного порядка. Разложения в ряды по собственным функциям н теорема Гильберта- Шмидта
§ 4. Краевые задачи для самосопряженных систем четного порядка и вариационное исчисление
1. Экстремальное свойство собственных значений, вытекающее из теории интегральных уравнений
2. Доказательство Тонелли существования собственных значений с помощью прямых методов вариационного нечисления
3. Экстремальное свойство собственных значений, выводимое из теории дифференциальных систем. Доказательство Пиконе
4. Одно интегральное неравенство
§ 5. Существование бесконечного множества собственных значений для однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Глава VI
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Решения линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
1. Примеры
2. Характеристическое уравнение
3. Элементарные делители матрицы
4. Решения в случае, когда показатели всех элементарных делителей характеристической матрицы равны единице. Характеристические показатели и числа
5. Решения в общем случае. Подгруппы Гамбургера
6. Необходимое и достаточное условие существования периодического решения
7. Периодические решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
§ 2. Вычисление характеристических показателей
1 Исследование характеристических показателей
2. Исследования А. М. Ляпунова об уравнениях второго порядка
3. Метод Хнлла вычисления характеристических показателей при помощи бесконечных определителей
§ 3. Самосопряженные системы второго порядка с периодическими краевыми условиями
1. Существование собственных значений
2. Осцилляционная теорема
§ 4. Дифференциальное уравнение Матье и функции, связанные с эллиптическим цилиндром
1. Элементарные решения уравнения колебаний эллиптической мембраны и уравнение Матье
2. Функции Матье и их классификация по типам
3. Отсутствие линейно независимых периодических решений, соответствующих одному и тому же собственному значению. Теорема Айнса
4. Интегральное уравнение Уиттекера для функций Матье
§ 5. Системы линейных однородных уравнений с периодическими коэффициентами
§ 6. Системы дифференциальных уравнений, зависящих от параметра. Периодические решения
§ 7. О периодических решениях дифференциального уравнения динамики точки, движущейся по заданной траектории
1. Теорема Вейерштрасса
2. Формула Леви-Чивита для вычисления периода в первом приближении
§ 8. Задача о периодических орбитах и вариационное исчисление
1. Задача о периодических орбитах
2. Теорема Тонелли о существовании периодических экстремалей
§ 9. Почти периодические функции и почти периодические решения дифференциальных уравнений
1. Почти периодические функции. Первые свойства
2. Теорема о среднем
3. Ряды Фурье почти периодических функций
4. Теорема об аппроксимации
5. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Теорема Бора и Нейгебауера
Краткая аннотация книги
Два тома книги Дж. Сансоне весьма богаты по своему содержанию. В них нашли достаточно полнее освещение такие вопросы, как краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, асимптотическое поведение решений линейных уравнений, теоремы существования, единственности, непрерывности и дифференцируемости решений и многие другие. Пожалуй, главной темой книги являются весьма важные для приложений математики краевые задачи и непосредственно связанные с ними задачи об асимптотическом поведении решений на бескбнечности. В различных главах первого и второго томов рассмотрены всевозможные постановки линейных и нелинейных краевых задач и разобраны самые разнообразные методы их решения.
Автор книги всюду, где это возможно, иллюстрирует общие теоремы на примерах применений к специальным функциям, доводя в этих вопросах выкладки до окончательных формул. Последние три главы второго тома (около трехсот страниц) посвящены обстоятельному изложению чисто прикладных вопросов - операционного исчисления, графических и вычислительных методов решения дифференциальных уравнений, а также вопросов теории нелинейных колебаний. Наличие этих глав делает книгу Сансоне полезной не только для математиков, но и для инженеров и научных работников технических институтов, которым приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями.
Вместе с тем читателю бросается в глаза следующий серьезный недостаток книги Сансоне. Автор счел нужным подробно, вплоть до маловажных деталей, разработать темы, развивавшиеся итальянскими математиками, и почти совсем не рассмотрел вопросов, в решении которых итальянцы не принимали участия. К таким забытым темам относится, например, изучение структуры семейства интегральных кривых около особой точки, которому уделено буквально несколько страниц. Не упоминается даже такое важнейшее понятие, как характеристические числа А. М. Ляпунова, хотя асимптотическое поведение решений линейных уравнений второго порядка на бесконечности представлено довольно подробно. Можно указать и много других примеров такого рода.
Примечание. Сохраняйте книги на мобильный телефон и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.