Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
Ж. Поммаре, Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли
• Бесплатно скачать книгу, объем 3.98 Мб, формат .djvu
Монография известного французского математика Ж. Поммаре
ГЛАВА 1
1. Расслоенные многообразия
2. Морфизмы расслоений
3. Расслоенные подмногообразия
4. Векторные расслоения
5. Операции над расслоениями
6. Вертикальные расслоения
7. Точные последовательности
8. Нормальные расслоения
9. Расслоения джетов
ГЛАВА 2
1. Дифференциальные операторы
2. Нелинейные системы
3. Формальные свойства
4. Условие формальной интегрируемости
5. Теорема о продолжении
ГЛАВА 3
1. Когомологии Спенсера
2. Инволютивные символы
3. Понижение порядка
4. Теорема о продолжении
5. Дополнения
ГЛАВА 4
1. Семейства Спенсера
2. Формальные свойства
3. Условие формальной интегрируемости
4. Аналитические системы
ГЛАВА 5
1. Линейные системы
2. Формальные свойства
3. Первый комплекс Спенсера
4. Второй комплекс Спенсера
5. Р-комплекс
6. Алгебраические свойства
7. Примеры
ГЛАВА 6
1. Группы Ли
2. Основные теоремы Ли
3. Инвариантные слоения
4. Производная Ли
5. Продолжение преобразований
ГЛАВА 7
1. Конечные и инфинитезимальные уравнения Ли
2. Общие и специальные уравнения Ли
3. Условия интегрируемости
4. Третья основная теорема
5. Проблема эквивалентности
6. Нормализатор
7. Теория деформаций структур
8. Деформационные когомологии
9. Теорема об аналитической реализации
Краткая аннотация книги
Монография известного французского математика, посвященная "формальной" теории уравнений с частными производными, интерес к которой в последнее время сильно вырос. Основным инструментом теории является новый и весьма содержательный алгебраический формализм, разработанный Э Картаном, С. Ли, Д. Спенсером и др. Русское издание дополнено новым материалом. Для математиков разных специальностей, физиков-теоретиков.
В этой книге читатель найдет современное изложение основ теории совместности, или формальной интегрируемости, общих систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (НДУ) и основ теории псевдогрупп Ли, т.е. псевдо1рупп локальных преобразований некоторого многообразия, элементы которых суть решения заданной системы НДУ. Первая из них часто называется формальной теорией НДУ, а вторая - уравнениями Ли. Изначальная цель формальной теории узка и конкретна - выяснить, имеет ли заданная система НДУ формальные решения в данной точке, и если да, то каков произвол в их выборе? Под формальным решением при этом понимается степенной ряд с центром в рассматриваемой точке, удовлетворяющий этой системе. Эту задачу можно решать, последовательно дифференцируя уравнения исходной системы и подставляя в получаемые таким образом уравнения искомый ряд для того, чтобы определить его коэффициенты. Непосредственная реализация этой процедуры, однако, наталкивается на непреодолимые трудности, при лом катастрофически нарастает объем вычислений, и, действуя таким образом, мы не можем быть уверены, что не придем к противоречию на каком то шаге.
Современная формальная теория, широко использующая идеи и достижения теории гладких многообразий, дифференциальной геометрии, коммутативной и гомологической алгебры, не только успешно преодолевает указанные трудности и решает поставленную задачу, но и приводит к результатам и методам, полезным в!'?ле, где приходится анализировать сложные системы НДУ. Более того, строение бесконечномерного многообразия всех формальных решений заданной системы НДУ весьма полезно знать при исследовании многих важных вопросов, как теоретических, так и чисто практических, связанных с изучением этой системы (лагранжев и гамильтонов формализм, высшие симметрии и законы сохранения, инвариантные и частично-инвариантные решения, факторизация, особенности решений и т. п.). Формальная теория естественно связана с дифференциальной алгеброй, а в последнее время вступила в многообещающий контакт с дифференциальной топологией.
Теория "непрерывных групп преобразований", созданная С. Ли около ста лет назад, в качестве своих составляющих содержала теорию "конечных непрерывных групп" и теорию "бесконечных непрерывных групп". Первые сегодня известны как группы Ли. В геометрии уравнения Ли естественно возникают как условия того, что локальный диффеоморфизм многообразия М сохраняет некоторую заданную на М геометрическую структуру (например, риманову метрику, связность и т. п.). Простейший физический пример псевдогрупп Ли - группы калибровочных преобразований.
Псевдогруппы Ли, несомненно, представляют собой очень интересный математический объект, имеющий в перспективе глубокие приложения к фундаментальной физике сегодняшнего дня. Еще Э. Картан в своих замечательных работах, выполненных в начале века, показал, что возможна содержательная структурная теория псевдогрупп Ли. В последнее время в этом направлении математиками школ Д. Спенсера и С. Стернберга получены новые важные результаты. Все эти результаты, как старые, так и новые, почти неизвестны широкой публике.
На протяжении всей своей истории обе теории, изложенные в этой книге, никогда не находились на волне математической моды и, по-видимому, всегда воспринимались математическим сообществом с холодным уважением, вызванным высоким авторитетом их создателей и разработчиков. Это, вероятно, можно объяснить теоретико-множественными устремлениями прошедшей эпохи, для которой эти сюжеты, требующие взаимодействия многих математических дисциплин, оказались слишком сложными. Отсутствие общедоступного изложения этих теорий безусловно также сыграло свою роль. Немаловажно и то, что немногочисленные специалисты в этой области образуют говорящий на своем собственном диалекте почти замкнутый клан, мастерство в котором по средневековой традиции передается от учителя к ученику и члены которого (очевидно, по этой причине) пишут почти исключительно очень длинные и очень трудные статьи (см. список литературы).
Книга французского математика Жана-Франсуа Поммаре, профессора Национальной школы мостов и дорог в Булони, является первой попыткой демократического и вместе с тем современного изложения основ упомянутых теорий, причем она написана так, чтобы в ней могли разобраться даже "физики". Ее автор - активно работающий математик, внесший заметный вклад и усовершенствования в излагаемые в ней вопросы и успешно увязавший достижения старых мастеров с современной "технологией". Мы думаем, что перевод этой книгиг) окажется интересным и полезным советскому читателю, и надеемся, что он будет стимулировать оригинальные исследования в обсуждавшихся областях, вклад в которые отечественных авторов пока был явно недостаточным. Небольшое добавление, помещенное в конце книги, написано с целью набросать панораму общей теории нелинейных дифференциальных уравнений, существенными элементами которой являются сюжеты этой книги. Несомненно, что и формальная теория, и уравнения Ли будут вовлечены в то бурное развитие, которое сейчас испытывает теория нелинейных уравнений.
В течение последнего столетия дифференциальные уравнения в частных производных были для математиков и физиков-теоретиков как одним из основных средств исследования, так и важнейшей областью исследований, Первоначально уравнения в частных производных составляли существенную часть того, что именовалось анализом. Однако благодаря работам Софуса Ли наши взгляды на дифференциальные уравнения в частных производных стали развиваться в новых направлениях. С одной стороны, основным предметом наших интересов могут служить корректные задачи в смысле Адамара и теоремы существования для них в заданном дифференциальном поле - в этом случае мы по-прежнему остаемся в рамках анализа. С другой стороны, мы можем интересоваться структурой самих сметем дифференциальных уравнений в частных производных и всем тем, что можно из них получить с помощью таких операций, как дифференцирование и продолжение. В таком случае мы сталкиваемся с формальной теорией и выходим за рамки собственно анализа, углубляясь в алгебру и дифференциальную геометрию с присущими им когомологическими теориями. Такое разделение четко прослеживается уже в работах Софуса Ли и Эли Картана. О нем свидетельствует также тесная взаимосвязь между алгебраической теорией систем дифференциальных уравнений в частных производных и теорией псевдогрупп Ли.
В наши дни пионером формальной теории стал Дональд Спенсер, поставивший основные проблемы и разработавший важнейшие методы; в то же время он стал лидером целой плеяды выдающихся математиков, чьи имена упоминаются на всем протяжении этой книги. Работы этих авторов составляют заметную часть современного математического пейзажа. Однако сложившаяся в настоящее время ситуация внесла определенные трудности: ввиду большого числа появившихся недавно взжных статей неспециалисту трудно войти в курс дела, несмотря на существование книги Кумперы и Спенсера. Более того, принятая в литературе в:сьма общая точка зрения (можно сказать, что она является формальным наследием подхода Эли Картана) имеет в большей степени теоретический, нежели операционный характер, и, когда в геометрии или физике возникает естественная в некотором смысле система дифференциальных уравнений в частных производных, общая теория часто не оправдывает наших надежд при анализе тонкостей структуры данной конкретной системы.
Цель автора настоящей книги состоит в том, чтобы помочь преодолеть эти трудности. В ней отчетливо видно стремление последовательно ввести читателя в формальную теорию систем дифференциальных уравнений и псевдогрупп Ли. Всякий внимательно изучив ший ее получит возможность легко и с пользой для себя читать основные оригинальные работы. Но книга этим далеко не ограничивается: в ней избрана точка зрения, принципиально отличающаяся от общепринятой. Эта точка зрения, которую можно было бы назвать операционной, помещает несколько старомодный подход таких исследователей, как Вессио и Жане, в современные научные рамки. Читатель приглашается поразмыслить о конкретных системах и сравнить каждый шаг их исследования с теоретическим подходом Спенсера. Возможно, наиболее близким к Поммаре математиком является Кумпера. Несомненно, что богатство рассмотренных в книге примеров поможет читателю овладеть техникой многих стандартных доказательств. В то же время принятая автором операционная точка зрения подводит к новым результатам, новым акцентам, новым проблемам и новым интерпретациям. Мне кажется, что многие специалисты задумаются над этим и обратят на это свое внимание.
К оригинальным и важным достоинствам книги, не считая принятого в ней подхода, можно отнести изложение условия инволютивности в гл. 2, подробное изучение когомологий Спенсера в гл.З, анализ первого и второго комплексов Спенсера в гл. 5 и фактически всю гл. 7-включая введение расслоения геометрических объектов, связанного с некоторой псевдогруппой Ли, условия интегрируемости, так называемые условия Якоби и аналог третьей основной теоремы Ли для транзитивных псевдогрупп Ли. Глава завершается приложениями к формальным деформациям бесконечномерных алгебр Ли, затрагивая темы некоторых моих собственных работ, однако с совершенно иных позиций.
Эта книга из-за принятой в ней точки зрения далека от того, чтобы соответствовать установившимся стандартам, что, возможно, отпугнет некоторых читателей. Конечно, она несовершенна и далеко не исчерпывающая, но она и не может быть такой, ибо рассматриваемая теория далека от завершенности и по-прежнему активно развивается. Однако я уверен, что внимательный читатель этой намеренно необычной книги извлечет из своих усилий, затраченных на ее изучение, значительную пользу и приобретет более глубокое понимание важной и обширной области, получив возможность эффективного применения полученных знаний.
Примечание. Сохраняйте книги на мобильный телефон и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.