Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
И.Л. Никольская, Математическая логика
• Бесплатно скачать книгу, объем 1.16 Мб, формат .djvu
Рассчитано на лиц со средним образованием (элементарное изложение), Москва, 1981
§ 1. Логические операции
1. Высказывания н высказывательные формы (7).
2. Элементарные и составные предложения (8).
3. Конъюнкция и дизъюнкция (10).
4. Отрицание (13).
5. Импликация и эквиваленция (15).
§ 2. Язык логики высказываний
1. Формулы логики высказываний (18).
2. Язык и метаязык (21).
3. Составление таблиц истинности для данных формул (24).
4. Тавтологии (27).
§ 3. Логическая равносильность
1. Равносильность формул логнкн высказываний (28).
2. Законы логики (30).
3. Равносильные преобразования. Упрощение формул (32).
4. Выражение импликации и эквнваленции через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание (35).
§ 4. Обратные и противоположные предложения
1. Обратные предложения (38).
2. Противоположные предложения (39). 3 Закон контрапозицни (40).
4. Достаточные и необходимые условия (41).
5. Структура определений (42).
§ 5. Логическое следование
1. Отношение следования между формулами логики высказываний (44).
2. Правильные и неправильнее аргументы (46).
3. Сокращенный способ проверки аргументов (49).
§ 6. Нормальные формы
1. Составление формул по заданным таблицам истинности (52).
2. Нормальные формы. Приведение формул к совершенным нормальным формам с помощью равносильных преобразований (54).
3. Получение следствий из данных посылок (58).
§ 7. Переключательные схемы
1. Описание переключательных схем с помощью формул логнкн высказываний (61).
2. Анализ, упрощение и синтез переключательных схем (63).
§ 8. Предикаты и высказывательные формы
1. Недостаточность логики высказываний (66).
2. Предикаты и способы их задания (67).
3. Множество истинности предиката (72).
4. Равносильность высказыватель-иых форм (74).
5. Логические операции и операции иад множествами (76).
6. Следование в включение (82).
§ 9. Свойства и отношения
1. Свойства как одноместные предикаты (85).
2. Классификация (86).
3. Отношения как многоместные предикаты (88).
4. Свойства бинарных отношений (89).
5. Отношения эквивалентности и отношения порядка (92).
§ 10. Кванторы
1. Кванторы общности и существования (94).
2. Кванти-фикация многоместных высказывательиых форм (97).
3. Отрицание предложений с кванторами (100).
4. Численные кванторы (102).
5. Символическая запись определений и теорем (104).
§ 11. Формулы логики предикатов
Краткая аннотация книги
Книга предназначена для учащихся по специальности "Прикладная математика" и содержит теоретический материал, соответствующий программе курса "Математическая логика", а также упражнения для активного усвоения курса и приобретения необходимых навыков. Изложение базируется на знаниях по математике, полученных учащимися в средней школе, и на усвоенных ими языковых нормах. Предназначается для учащихся средних специальных учебных заведений и непрофильных вузов. Эта книга предназначена для учащихся техникумов по специальности "Прикладная математика". Ее содержание соответствует программе курса "Математическая логика", на изучение которого отводится 36 часов в начале первого года обучення.
Этот курс призван повысить общую культуру мышления учащихся и тем самым подготовить их к сознательному и глубокому усвоению математических дисциплин общего и- специального циклов. Знакомство с языком1 математической логики и некоторыми ее методами поможет учащимся приобрести навыки правильного рассуждения, отчетливых формулировок, краткой я корректной записи математических предложений. В этом смысле курс является скорее "гуманитарным:", нежели математическим, а его название "Математическая логика" - всего лишь дань традиции, согласно которой учебные, общеобразовательные курсы, излагающие азы, элементы какой-либо науки, именуются так же, как и сама эта наука.
В книге содержится необходимый минимум теоретических сведений и набор упражнений и задач для активного усвоения материала, закрепления и повторения. При изучений курса целесообразно не отделять изложенне теории от практнческнх занятий, а перемежать нх в рамках одного урока. Символика, используемая в книге, согласована с символикой действующих школьных учебников математики.
Слово "логика" и производные от него часто можно встретить на страницах, всевозможных печатных изданий и услышать в разговорной речи. Каков же смысл этого слова? Заглянем в толковый словарь С. И. Ожегова. Там сказано: "Логика - наука о законах мышления и его формах" и еще: "Логика - ход рассуждений, умозаключений". Слово "логика" происходит от греческого "логос", что, с одной стороны, означает "слово" или "речь", а с другой - то, что выражается в речи, т. е. мышление. Логика изучает лишь те акты мышления, которые фиксированы в языке в виде слов, предложений и их совокупностей. Таким образом, логика имеет непосредственное отношение к языку, речи. Поэтому логика соприкасается с грамматикой и, более широко, с лингвистикой (наукой о языке). С помощью логических средств наш естественный язык уточняется, приобретает четкость и определенность.
Логика как наука сформировалась очень давно - в IV в. до н. э. Ее создал древнегреческий ученый Аристотель. В течение многих веков логика почти совсем не развивалась. Это, конечно, свидетельствует о гениальности Аристотеля, которому удалось создать столь полную научную систему, что, казалось, "не убавить, не прибавить". Однако в силу такой неизменности логика приобрела славу мертвой, застывшей науки и вызывала у многих скептическое к себе отношение. Сухость и видимую бесплодность логики высмеивали Рабле, Свифт и др.
В XVII в. великий немецкий ученый Лейбниц задумал создать новую логику, которая была бы "искусством исчисления". В этой логике, по мысли Лейбница, каждому понятию соответствовал бы символ, а рассуждения имели бы вид вычислений. Эта идея Лейбница, не встретив понимания современников, не получила распространения и развития. Только в середине XIX в. ирландский математик Дж. Буль частично воплотил в жизнь идею Лейбница. Им была создана алгебра логики (Булева алгебра), в которой действуют законы, схожие с законами обычной алгебры, но буквами обозначаются не числа, а предложения. На языке булевой алгебры можно описывать рассуждения и "вычислять" их результаты; однако ею охватываются далеко не всякие рассуждения, а лишь определенный тип их, в некотором смысле - простейший.
Алгебра логики Буля явилась зародышем новой науки - математической логики. В отличие от нее логику, восходящую к Аристотелю, называют традиционной формальной логикой. В названии "математическая логика" отражены две характерные черты этой науки: во-первых, математическая логика - это логика, использующая язык и методы математики; во-вторых, математическая логика была вызвана к жизни потребностями математики.
В конце XIX в. у математиков появилась надежда навести порядок в своей науке, которая так разрослась, что представители различных ее областей стали зачастую плохо понимать друг друга: созданная Г. Кантором теория множеств представлялась надежным фундаментом для построения единого и прочного математического здания. При попытках реализовать эту идею возникли трудности логического характера, которые оказалось невозможным преодолеть средствами традиционной формальной логики. Эти трудности окончательно не преодолены и по сей день, но попытки их преодоления дали мощный толчок становлению и развитию математической логики.
Математическая логика сама стала областью математики, поначалу казавшейся в высшей степени абстрактной и бесконечно далекой от практических приложений. Однако эта область недолго оставалась уделом "чистых" математиков. В начале нынешнего века П. С. Эренфест указал на возможность применения аппарата логики высказываний (раздела математической логики) в технике. В середине столетия была обнаружена теснейшая связь математической логики с новой наукой - кибернетикой. Эта связь открыла возможности многочисленных и разнообразных приложений математической логики. Достаточно сказать, что сегодня математическая логика используется в биологии, медицине, лингвистике, педагогике, психологии, экономике, технике. Чрезвычайно важна роль математической логики в развитии вычислительной техники: она используется в конструировании компьютерных процессоров и при разработке формальных языков общения с машинами.
Математическая логика уточнила и по-новому осветила понятия и методы традиционной формальной логики, существенно расширила ее возможности и сферу применимости. Большой вклад в развитие математической логики сделали ученые разных стран: Г. Фреге (1848-1925), Д. Гильберт (1862-1943), Д. Пеано (1858-1932), Б. Рассел (1872-1970), К. Гёдель (род. в 1906 г.), П. С. Новиков (1901-1975), А. Н. Колмогоров (род. в 1903 г.), Я. Лукасевич (1878-1956), А. Тарский (род. в 1901 г.), А. Чёрт (род. в 1903 г.), А. Тьюринг (1912- 1954), А. А. Марков (1903-1980), Н. А. Шанин (род. в 1919 г.) и др. Предлагаемый курс вводит в круг некоторых основных понятий и методов математической логики путем знакомства с первым и фундаментальным ее разделом - логикой высказываний и отдельными вопросами из других разделов.
Примечание. Сохраняйте книги на мобильный телефон и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.