Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
У. Миллер мл., Симметрия и разделение переменных
• Бесплатно скачать книгу, объем 3.23 Мб, формат .djvu (Москва, 1981)
Глава 1. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
§ 1.0. Введение
§ 1.1. Группа симметрии уравнения Гельмгольца
§ 1.2. Разделение переменных для уравнения Гельмгольца
§ 1.3. Формулы разложения, связывающие решения с разделенными переменными
§ 1.4. Разделение переменных для уравнения Клейна - Гордона
§ 1.5. Формулы разложения для решений уравнения Клейна-Гордона
§ 1.6. Комплексное уравнение Гельмгольца
§ 1.7. Метод Вейснера для комплексного уравнения Гельмгольца
Глава 2. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
§ 2.1 Разделение переменных для уравнения Шредингера
§ 2.2. Уравнение теплопроводности
§ 2.3. Разделение переменных для уравнения Шредингера
§ 2.4. Комплексное уравнение
§ 2.5. Разделение переменных для уравнения Шредингера
§ 2.6. Базисы и матричные элементы смешанных базисов для уравнения, Шредингера
§ 2.7. Вещественное и комплексное уравнения теплопроводности
§ 2.8. Заключительные замечания
Глава 3. УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА И ЛАПЛАСА С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 3.1. Уравнение Гельмгольца
§ 3.2. Модель гильбертова пространства: сфера
§ 3.3. Многочлены и функции Ламе на сфере
§ 3.4. Формулы разложения для решений с разделенными переменными уравнения Гельмгольца
§ 3.5. Модели негильбертовых пространств для решений уравнения Гельмгольца
§ 3.6. Уравнение Лапласа
§ 3.7. Тождества для решений с разделенными переменными уравнения Лапласа
Глава 4. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
§ 4.1. Уравнение
§ 4.2. Оператор Лапласа на сфере
§ 4.3. Диагоиализация операторов
§ 4.4. Уравнение Шредингера и уравнение Эйлера - Пуассона - Дарбу
§ 4.5. Волновое уравнение
Глава 5. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ
§ 5.1. Функции Лауричеллы
§ 5.2. Формулы преобразований и производящие функции для функций
Приложение А. ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ
Приложение Б. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
Приложение В. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Краткая аннотация книги
Монография по применению метода разделения переменных в уравнениях в частных производных и его связи с теорией групп (связи между алгеброй Ли симметрии уравнения, системами координат, в которой уравнение допускает разделение переменных, и свойствами получающихся при этом специальных функций), принадлежащая перу американского математика. Найдены все решения с разделенными переменными ряда классических уравнений математической физики (уравнения Лапласа, Гельмгольца, Клейна - Гордона, Шредингера), приведен большой справочный материал по специальным функциям. Для математиков, физиков, инженеров, аспирантов и студентов.
В прикладных областях исследователи часто имеют дело с конкретными дифференциальными уравнениями, допускающими нетривиальную группу преобразований. Многие важные классы решений уравнений гидродинамики, теории упругости, магнитной гидродинамики и т. п. были получены с использованием групповых свойств этих уравнений. Это решения типа простых волн в гидродинамике, типа бегущих волн, так называемые автомодельные решения и т. д.
С другой стороны, метод разделения переменных, широко применяемый для отыскания частных решений линейного дифференциального уравнения, самым тесным образом связан с групповыми свойствами уравнения. Хорошо известно, что очень многие классические специальные функции первоначально появились при решении волнового уравнения и уравнения Лапласа методом разделения переменных. В связи со сказанным естественно возникает задача изучения дифференциальных уравнений с групповой точки зрения. Такое изучение является в известном смысле вынужденным ввиду следующего обстоятельства. По мере развития самой математики и по мере увеличения числа тех областей естествознания и техники, где математика находит широкие приложения, росло число специальных функций и различных относящихся к ним фактов. В то же время происходила резкая переоценка роли отдельных классов функций, а это приводило к тому, что целые поколения математиков-прикладников были начисто лишены необходимых знаний в отдельных областях теории специальных функций. Учитывая, что для непосвященного читателя теория специальных функций представляется кошмарным набором сложных формул, возникает большое желание навести порядок во всем этом таком сложном, но и таком чрезвычайно важном разделе математики. К счастью, эта задача не представляется столь уж безнадежной, и здесь прежде всего могут помочь методы теории групп и алгебр Ли и их представлений.
В предлагаемой монографии развит один из возможных подходов к вопросу о разделении переменных в ряде классических уравнений математической физики, основанный на изучении алгебры Ли симметрии уравнения и на теории представлений этой алгебры Ли. В результате не только находятся все системы координат, в которых уравнение допускает разделение переменных, но и получается целый ряд соотношений из теории специальных функций. В частности, таким образом получаются различного рода производящие функции для различных классов специальных функций, теоремы сложения и т. п. Автор рассмотрел довольно большой набор специальных функций, включающий и функции, не принадлежащие к гипергеометрическому типу. Нам представляется, что специалисту по прикладной математике, использующему специальные функции, будет полезно владение изложенными в данной монографии алгебраическими навыками работы с ними, равно как и умение работать со специальными функциями с помощью ЭВМ. Но это уже иной аспект теории специальных функций. Монография входит в известную "Энциклопедию математики и ее приложений", которая выпускается издательством "Эддисон - Уэсли"), и открывает серию, посвященную специальным функциям. Цели этого собрания книг и его структура описаны в следующих ниже предисловиях редактора Энциклопедии и редактора серии.
Этот том открывает серию книг, авторы которых пытаются показать, как и почему во многих приложениях математики появляются специальные функции. Элементарные трансцендентные функции, такие, как экспоненциальная функция, ее обратная (логарифмическая) и тригонометрические функции, входят в число рабочих инструментов не только математиков, но и большинства специалистов, использующих математику в своей работе. Было время, когда каждый математик в совершенстве знал теорию высших трансцендентных функций. Так, например, во второй половине девятнадцатого столетия появилось поразительное количество книг, посвященных эллиптическим функциям, а на выпускных экзаменах в университетах постоянно предлагались сложные задачи на доказательство различных фактов, относящихся к функциям Бесселя и функциям Лежандра. Теперь эти функции и другие исключительно полезные специальные функции известны не столь широкому кругу специалистов; это привело к тому, что возникающие в приложениях важные специальные функции вот уже в течение двадцати пяти с лишним лет изучаются людьми, не подозревающими, что многие открытые ими факты были установлены около ста лет тому назад. От недостатка обмена информацией между математиками и специалистами, применяющими математику в своей работе, страдают обе стороны. Цель настоящей серии книг - попытаться показать, как различные разделы математики связаны между собой и как эту связь можно использовать для решения проблем, представляющих интерес для специалистов в различных областях.
Примечание. Сохраняйте книги на мобильный телефон и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.