Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
А.И. Мальцев, Алгоритмы и рекурсивные функции
• Бесплатно скачать книгу, объем 3.45 Мб, формат .djvu (Москва, 1986)
Глава I. Основные понятия
§ 1. Функции и операции
1.1. Алфавит. Слова (17). 1.2. Функции. Термы (19). 1.3. Алгебры (24). 1.4. Кодирование (27). Примеры и задачи (30).
§ 2. Основные вычислимые операторы
2.1. Суперпозиции частичных функций (30).
2.2. Оператор примитивной рекурсии (33). 2.3.
Операция.минимизации (39). 2.4. Общерекурсивные
функции (45). Примеры и задачи (47).
Глава II. Примитивно рекурсивные функции и рекурсивно перечислимые множества
§ 3. Примитивно рекурсивные функции
3.1. Операции суммирования и мажорированного обращения (49). 3.2. Примитивная рекурсивность некоторых арифметических функций (53).
3.3. Нумерация пар и чисел (60). 3.4. Зависимости между операторами примитивной рекурсии и минимизации (64). 3.5. Одноместные примитивно рекурсивные функции (68). Дополнения, примеры и задачи (76).
§ 4. Рекурсивно перечислимые множества
4.1. Рекурсивные и примитивно рекурсивные множества (77). 4.2. Рекурсивно перечлслимые множества (79). 4.3. Порожденные множества (82). 4.4. Множества натуральных чисел (86). Примеры и задачи (91).
Глава III. Общерекурсивные и частично рекурсивные функции
§ 5. Общерекурсивные функции
5.1. Рекурсии 2-й ступени (93). 5.2. Универсальная общерекурспвная функция (98). 5.3. Быстрорастущие функции (105). 5.4. Обращение функций. Алгебра Робинсон (108). Дополнения, примеры и задачи .
§ 6. Частично рекурсивные функции
6.1. Параметризация частично рекурсивных функций (114). 6.2. Универсальные частично рекурсивные функции (120). 6.3. Доопределение функций. Построение нерекурсивного рекурсивно перечислимого множества (123). 6.4. Исследование представления Клпни (127). Дополнения, примеры и задачи (129).
Глава IV. Нумерованные совокупности
§ 7. Нумерации совокупностей множеств n функций
7.1. Универсальные функции Клинп (133). 7.2. Нумерация Клинп (136). 7.3. Нумерация Поста (139). 7.4. Однозначные нумерации (145). Дополнения, примеры и задачи (155).
§ 8. Сводимость и креативность множеств
8.1. Сводимость и эквивалентность множеств (156). 8.2. Продуктивные и креативные множества (159). 8.3. Простые множества (163). 8.4. Максимальные множества (164). Дополнения, примеры и задачи (167).
§ 9. Нумерации произвольных совокупностей
9.1. Изоморфизм и эквивалентность нумераций (171). 9.2., Односводимость нумераций (176). 9.3. Полные нумерации (183). 9.4. Семейства объектов нумерованных совокупностей (188). Дополнения, примеры и задачи (191).
§ 10. Универсальные и креативные системы множеств
10.1. m-универсальные системы множеств (192).
10.2. Креативные системы множеств (196). 10.3. Рекурсивно неотделимые множества (199). Дополнения, примеры и задачи (202).
Глава V. Алгоритмы и машины Тьюринга
§ 11. Словарные множества и функции
11.1. Словарные множества (205). 11.2. Основные словарные операторы (209). 11.3. Прямое определение класса частично рекурсивных словарных функций (215). Дополнения и примеры (218).
§ 12. Машины Тьюринга
12.1. Машины Тьюринга - Поста (219). 12.2. Вычислимые функции (225). 12.3. Синтез машин Тьюринга (230). 12.4. Теоремы о графике и существовании универсальных частично рекурсивных функций (243). 12.5. Универсальные машины (250). Дополнения, примеры и задачи (252).
§ 13. Приложения
13.1. Проблема равенства слов в полугруппах (254). 13.2. Тождественно истинные формулы исчисления предикатов 1-й ступени (263). 13.3. Арифметические множества (270). 13.4. Формулы 2-й ступени (276). Дополнения и примеры (277).
Глава VI. Варианты машин и алгоритмов Тьюринга - Поста
§ 14 Нормальные и операторные алгоритмы
14.1. Формальные системы. Продукции Поста (284). 14.2. Нормальные алгоритмы (289). 14.3. Операторные алгоритмы (291). Дополнения и примеры (301).
§ 15. Многоленточные машины и ТАГ-системы
15.1. Общие многоленточные машины (302). 15.2. Машины Минского (304). 15.3. Однородные продукции. ТАГ-системы (315). Дополнения, примеры и задачи (320).
§ 16. Диофаптовы уравнения
16.1. Диофантовы предикаты и функции (321).
16.2. Арифметическое представление (330). 16.3.
Представимость натуральных чисел многочленами (336). 16.4. Показательные уравнения (339).
Дополнения и примеры (346).
Приложение. Диофантовость рекурсивно перечислимых множеств и предикатов (Д. А. Захаров)
Краткая аннотация книги
Посвящается одному из актуальных и бурно развивающихся разделов математической логики - теории алгоритмов, а также важнейшим ее связям с другими разделами математики. Является одним из лучших пособий для знакомства с основными направлениями, идеями и методами теории алгоритмов. Для математиков различных специальностей: научных работников, аспирантов и студентов.
Еще в 30-х годах нашего столетия математическая логика и возникавшая тогда теория алгоритмов казались наиболее абстрактными и наиболее далекими от практических приложений областями математики. В настоящее время положение коренным образом изменилось. Ныне общепризнанно, что обе названные области образуют теоретический фундамент для создания и применений быстродействующих вычислительных и управляющих систем. Резко возрос удельный вес математической логики и теории алгоритмов и в самой математике. Более того, в значительной степени через теорию алгоритмов и математическую логику происходит ныне проникновение математических методов в биологию, лингвистику, экономику вплоть до философии естествознания. Все это привело к тому, что математическую логику и теорию алгоритмов начали включать в учебные планы наших университетов и пединститутов в качестве дисциплин, обязательных для изучения студентами-математиками всех специальностей.
Настоящая книга возникла в результате обработки конспектов лекций по математической логике, теории алгоритмов и их приложений, читавшихся автором в 1956-1959 гг. Ивановском педагогическим институте и с 1960 г. в Новосибирском университете. В ней излагается лишь общая теория алгоритмов и рекурсивных функций. Целиком за пределами книги остались теория автоматов, приложения теории алгоритмов к формальным теориям, теория степеней неразрешимости. Сколько-нибудь подробное изложение этих разделов в настоящее время требует специальных монографий.
Более серьезным недостатком предлагаемой книги может оказаться отсутствие в ней сведений о реальных вычислительных машинах (что на сегодня есть уже достоинством - не надо удалять !!). Однако в настоящее время теория программирования и принципы устройства реальных вычислительных машин читаются во всех университетах в качестве самостоятельных курсов. По этим курсам написано много учебников самого различного уровня. Поэтому нам казалось излишним включать соответствующие вопросы в общую теорию алгоритмов и в данной книге они даже не упоминаются.
Так как лекции по теории алгоритмов иногда читаются до лекций по математической логике, то логическая символика используется нами в очень ограниченном размере и значения всех употребляемых логических символов подробно разъясняются. По этой же причине в книге не обсуждаются вопросы, связанные с интуиционистским и конструктивистским истолкованиями результатов.
От читателей не требуется никаких предварительных специальных знаний, выходящих за пределы программы средней школы. Доказательства всюду проведены полностью за исключением последних глав, где иногда опущены рассуждения рутинного характера, которые легко восстановит каждый читатель, добравшийся до этих глав. Первая половина книги в несколько ином виде была издана студентами Новосибирского университета в 1960 г. ротапринтным способом. Остальные главы читались в рукописи сотрудниками и студентами кафедры алгебры и математической логики НГУ. Всем им автор признателен за советы и замечания.
Примечание. Сохраняйте книги на мобильный телефон и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.