Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
А.И. Мальцев, Основы линейной алгебры
• Бесплатно скачать книгу, объем 4.19 Мб, формат .djvu
3 издание, Новосибирск, 1969
Глава I. Матрицы и определители
§ 1. Действия с матрицами
1.1. Матрицы. Основное поле (10). 1.2. Умножение матриц (12). 1.3.
Транспонирование матриц (17). 1.4. Клеточные матрицы (21). 1.5.
Кватернионы (24).
§ 2. Определители
2.1. Определение (30). 2.2. Основные свойства определителей (36).
2.3. Определитель произведения. Обратные матрицы (45). 2.4.
Крамеровские системы линейных уравнений (50).
§ 3. Характеристический и минимальный многочлены
3.1. Подобие матриц (55). 3.2. Характеристический многочлен (57).
3.3. Минимальный многочлен (60).
Глава П. Линейные пространства
§ 4. Размерность
4.1 Модули и векторные пространства (65). 4.2. Линейная зависимость
(70). 4.3. Изоморфизм (78).
§ 5. Координаты
5.1. Координаты вектора (81). 5.2. Ранги матриц (85). 5.3. Общие
системы линейных уравнений (92).
§ 6. Линейные подпространства
6.1. Пересечение и сумма подпространств (98). 6.2. Прямые суммы
(103). 6.3. Системы однородных линейных уравнений (105).
Глава Ш. Линейные преобразования
§ 7. Преобразования произвольных множеств
7.1. Произведение преобразований (ПО). 7.2. Единичное и обратное
преобразования (112). 7.3. Взаимно однозначные преобразования
(113). 7.4. Подстановки (114).
§ 8. Линейные преобразования и их матрицы
8.1. Простейшие свойства (117). 8.2. Матрица линейного
преобразования (120). 8.3. Преобразование координат (121).
§ 9. Действия с линейными преобразованиями
9.1. Умножение линейных преобразований (123). 9.2. Умножение на
число и сложение (125). 9.3. Многочлены от линейных
преобразований (127).
§ 10. Ранг и дефект линейного преобразования
10.1. Ядро и область значений (129). 10.2. Особенные и неособенные
преобразования (131). 10.3. Ранг матрицы преобразования (133).
§ 11. Инвариантные подпространства
11.1. Индуцированное преобразование (135). 11.2. Прямая сумма
инвариантных подпространств (137). 11.3. Характеристический
многочлен преобразования (139). 11.4. Собственные векторы и
собственные значения (140).
§ 12. Преобразования с матрицей нормальной формы
12.1. Диагональная форма (144). 12.2. Клетки Жордана (145). 12.3.
Корневые подпространства (146).
Глава IV. Многочленные матрицы
§ 13. Инвариантные множители
13.1. Эквивалентность (150). 13.2. Диагональная форма (152). 13.3.
Наибольшие общие делители миноров (155). 13.4. Условия
эквивалентности (159).
§ 14. Элементарные делители
14.1. Связь с инвариантными множителями (163). 14.2.
Элементарные делители распавшейся матрицы (165).
§ 15. Нормальные формы матрицы линейного преобразования
15.1. Деление А,-матриц (167). 15.2. Скалярная эквивалентность (169).
15.3. Критерий подобия матриц (170). 15.4. Нормальная форма
Жордана (171). 15.5. Естественная нормальная форма (174). 15.6.
Другие нормальные формы (176).
§ 16. Функции от матриц
16.1. Многочлен от жордановой матрицы (181). 16.2. Скалярные
функции (182). 16.3. Представление значений функций
многочленами (185). 16.4. Элементарные делители функций (187).
16.5. Степенные ряды (190). 16.6. Матрицы, перестановочные с
данной матрицей (191). 16.7. Матрицы, перестановочные с
перестановочными матрицами (195).
Глава V. Унитарные и евклидовы пространства 9
§ 17. Унитарные пространства 9
17.1. Аксиоматика и примеры (199). 17.2. Длина вектора (203). 17.3. Ортонормированные системы (205). 17.4. Изоморфизм (210). 17.5. Ортогональные суммы. Проекции (211).
§ 18. Сопряженные преобразования
18.1. Линейные функции (214). 18.2. Сопряженные преобразования (217). 18.3. Нормальные преобразования (219).
§ 19. Унитарные и симметрические преобразования
19.1. Унитарные преобразования (225). 19.2. Унитарная
эквивалентность (227). 19.3. Нормальная форма матрицы унитарного
преобразования (229). 19.4. Симметрические преобразования
(231). 19.5.Кососимметрические преобразования(233).
19.6.Неотрицательные симметрические преобразования (235).
§ 20. Разложения общих преобразований
20.1. Разложение на симметрическую и кососимметрическую части (240). 20.2. Полярное разложение (241). 20.3. Преобразование Кэли (245). 20.4. Спектральное разложение (248).
Глава VI. Квадратичные и билинейные формы
§ 21. Билинейные формы
21.1. Преобразование форм (254). 21.2. Эквивалентность билинейных форм (251).21.3.Конгруэнтность симметрических билинейных форм (259).
§ 22. Квадратичные формы
22.1. Конгруэнтность (262). 22.2. Алгоритм Лагранжа (264). 22.3. Закон инерции квадратичных форм (267). 22.4. Знакопостоянные формы (269).
§ 23. Пары форм
23.1. Эквивалентность пар форм (271). 23.2. Конгруэнтность пар форм (272). 23.3. Конгруэнтность несимметрических билинейных форм (276).
Примеры и задачи ч
§ 24. Билинейные функции
24.1. Основные определения (278). 24.2. Пространства с билинейной
метрикой (282). 24.3. Билинейные функции в билинейно-
метрических пространствах (286).
Глава VII. Линейные преобразования билинейно-метрических
пространств
§ 25. Основные типы линейных преобразований
25.1. Автоморфизмы (293). 25.2. Симметрические и
кососимметрические преобразования (298).
§ 26. Комплексные евклидовы пространства
26.1. Симметрические преобразования (301). 26.2.
Кососимметрические преобразования (303). 26.3. Комплексные
ортогональные преобразования (306).
§ 27. Симплектические пространства
27.1. Симметрические преобразования (309). 27.2.
Кососимметрические преобразования (312). 27.3. Симплектические
преобразования (313).
§ 28. Псевдоунитарные пространства
28.1. Симметрические преобразования (316). 28.2. Псевдоунитарные
преобразования (324).
Примеры и задачи 5
Глава VIII. Аффинные пространства
§ 29. Общие аффинные пространства
29.1. Аксиоматика (326). 29.2. Линейные многообразия (334). 29.3.
Параллельные плоскости (344). 29.4. Линейные функционалы (346).
§ 30. Аффинные координаты
30.1. Координаты точки (353). 30.2. Уравнения плоскостей (356).
30.3. Уравнения гиперплоскостей и прямых (364). 30.4.
Преобразование аффинных координат (369).
§ 31. Выпуклые тела
31.1. Лучи (374). 31.2. Полупространства (377). 31.3. Выпуклые
множества (381).
§ 32. Евклидовы точечные пространства
32.1. Длина ломаной (386). 32.2. Угол между прямыми (388). 32.3.
Ортогональные проекции (391). 32.4. Угол между плоскостью и
прямой (397).
Краткая аннотация книги
Анатолий Иванович Мальцев собирался существенно переработать "Основы линейной алгебры" для третьего издания, выбросив часть старого текста и сделав значительные добавления из геометрии. "В результате, - писал он в издательство, - возникает более чем наполовину новая книга. Надеюсь, что она будет полезна более подготовленным современным студентам университетов и пединститутов, в особенности тех университетов, где курсы линейной алгебры и аналитической геометрии читаются совместно. Я даже подумывал, не изменить ли название на "Основы линейной алгебры и аналитической геометрии". Смерть помешала Анатолию Ивановичу осуществить его планы, он успел написать только первые три главы (третью не полностью). В настоящем издании главы I, II, включающие теперь теорию определителей и систем линейных уравнений, печатаются по рукописи Анатолия Ивановича, а главы III-VII почти без изменений воспроизводят соответствующий текст второго издания. Заключительную главу второго издания - о тензорах - Анатолий Иванович собирался подвергнуть коренной переработке, но не успел даже приступить к ней; в настоящем издании эта глава опущена. Вместо нее здесь приводится новая глава VII]-об аффинных пространствах, - которая печатается по неоконченно:1! рукописи главы III. Ссылки на некоторые определения и результаты общей теории алгебраических систем даются по книге А. И. Мальцева "Алгебраические системы", вышедшей в 1969 г. в издательстве "Наука". Мы старались по возможности сохранить оригинальное изложение Анатолия Ивановича и ограничились самыми необходимыми изменениями и исправлениями отдельных неточностей.
Линейная алгебра - ветвь математики столь же старая, как и сама математика. Первоначальной задачей линейной алгебры можно считать задачу решения линейного уравнения ах-\-Ь - 0. Хотя эта задача и не представляет каких-либо трудностей, прием, при помощи которого она решается, а также свойства соответствующей линейной функции у = ах-\-Ь являются исходными образцами для идей и методов всей линейной алгебры. Например, учение о решении систем уравнений со многими неизвестными имеет в своей основе идею замены системы цепочкой указанных уравнений простейшего вида.
Важность систем линейных уравнений особенно возросла после создания аналитической геометрии, позволившей свести к исследованию систем линейных уравнений все основные вопросы о расположении плоскостей и прямых в пространстве. Поиски общих формул решения системы п уравнений с п неизвестными уже в XVIII в. привели Лейбница и Крамера к понятию определителя. В XIX в., помимо алгебры и аналитической геометрии, определители проникают и в анализ в работах Остроградского, Якоби (функциональные определители), Вронского и др. Параллельно с этим в аналитической геометрии, теории чисел и особенно в теоретической механике все большую важность приобретала задача преобразования квадратичных форм линейными подстановками переменных. Эта же задача явилась одной из центральных и в разработке геометрических идей Лобачевского и Римана, приведшей к созданию учения о линейных многомерных пространствах (Грассман). В середине прошлого века в связи с исследованиями некоммутативных алгебр (Гамильтон) в работах Кэли и Сильвестра возникает матричное исчисление, занявшее в дальнейшем развитии линейной алгебры одно из главных мест. К концу XIX в. оказались созданными важнейшие разделы матричного исчисления: о нормальной форме матрицы линейного преобразования (Жордан), элементарных делителях (Вейерштрасс), парах квадратичных форм (Вейерштрасс, Кронекер), эрмитовых формах (Эрмит). Развитие дифференциальной геометрии многомерных пространств и теории преобразований алгебраических форм высших степеней приводит в конце XIX в. к созданию тензорного исчисления.
В текущем столетии, методы линейной алгебры нашли обширные применения и были развиты дальше в теории колец и модулей, в теории представлений групп, а также в теории топологических векторных пространств и других разделах функционального анализа. Уже в последние два десятилетия теория линейных неравенств и неразрывно связанная с ней теория аффинных многомерных пространств заняли одно из центральных мест в такой популярной области прикладной математики, как теория операций. Благодаря этому элементы теории многомерных аффинных пространств стали теперь обязательной частью математического образования инженеров и экономистов.
В линейной алгебре изучаются объекты трех родов: матрицы, пространства и алгебраические формы. Теории этих объектов тесно связаны друг с другом. Большинство задач линейной алгебры допускает естественную формулировку в каждой из указанных трех теорий. Матричная формулировка обычно наиболее удобна для вычислений. С другой стороны, в геометрии и механике большинство задач линейной алгебры возникает в виде задач об исследовании алгебраических форм. Тем не менее наиболее отчетливое понимание внутренних связей между различными задачами линейной алгебры достигается лишь при рассмотрении соответствующих линейных пространств, которые и являются поэтому главным объектом изучения линейной алгебры.
С точки зрения теории форм содержание линейной алгебры естественно распадается на теорию линейных, теорию квадратичных и теорию форм высших степеней. К собственно линейной алгебре обычно относят лишь теорию линейных и квадратичных форм, а также начала теории полилинейных форм и тензорной алгебры.
Примечание. Сохраняйте книги на мобильный телефон и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.