Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа
• Бесплатно скачать книгу, объем 3.93 Мб, формат .djvu (Москва, 1976)
Глава I Элементы теории множеств
§ 1. Понятие множества. Операции над множествами
1. Основные определения (13). 2. Операции над множествами (13).
§ 2. Отображения. Разбиения на классы
1. Отображение множеств. Общее понятие функция (16). 2. Разбиение на классы. Отношения эквивалентности (18).
§ 3. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества ..... 1. Конечные и бесконечные множества (21), 2. Счетные множества (22). 3. Эквивалентность множеств (24). 4. Несчетность множества действительных чисел (26). 5. Теорема Кантора - Бернштейна (28). 6. Понятие мощности множества (28).
§ 4. Упорядоченные множества. Трансфинитные числа
1. Частично упорядоченные множества (31). 2. Отображения, сохраняющие порядок (32). 3. Порядковые типы. Упорядоченные множества (33). 4. Упорядоченная сумма упорядоченных множеств (34).
5. Вполне упорядоченные множества. Трансфинитные числа (34).
6. Сравнение порядковых чисел (36). 7. Аксиома выбора, теорема
Цермело и другие эквивалентные им утверждения (38). 8. Трансфинитная индукция (40).
§ 5. Системы множеств
1. Кольцо множеств (41). 2. Полукольцо множеств (42). 3. Кольцо, порожденное полукольцом (44). 4. а-алгебры (45). 5. Системы множеств и отображения (46).
Глава II Метрические и топологические пространства
§ 1. Понятие метрического пространства
1. Определение и основные примеры (48). 2. Непрерывные отображения метрических пространств. Изометрия (55).
§ 2. Сходимость. Открытые и замкнутые множества
1. Предельные точки. Замыкание (56). 2. Сходимость (58). 3. Плотные подмножества (59). 4. Открытые и замкнутые множества (60). 5. Открытые и замкнутые множества на прямой (62).
§ 3. Полные метрические пространства
1. Определение и примеры полных метрических пространств (66).
2. Теорема о вложенных шарах (69). 3. Теорема Бэра (70). 4. По
полнение пространства (71).
§ 4. Принцип сжимающих отображений и его применения
1. Принцип сжимающих отображений (74). 2. Простейшие применения принципа сжимающих отображений (75). 3. Теоремы существования и единственности для дифференциальных уравнений (78). 4. Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям (81).
§ 5. Топологические пространства
1. Определение и примеры топологических пространств (83).
2. Сравнение топологий (85). 3. Определяющие системы окрестно
стей. База. Аксиомы счетности (86). 4. Сходящиеся последователь
ности в Т (90). 5. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм (91).
6. Аксиомы отделимости (94). 7. Различные способы задания топо
логии в пространстве. Метризуемость (97).
§ 6. Компактность
1. Понятие компактности (98). 2. Непрерывные отображения компактных пространств (101). 3. Непрерывные и полунепрерывные функции на компактных пространствах (101). 4. Счетная компактность (103). 5. Предкомпактные множества (105).
§ 7. Компактность в метрических пространствах
1. Полная ограниченность (106). 2. Компактность и полная ограниченность (107). 3. Предкомпактные подмножества в метрических пространствах (109). 4. Теорема Арцела (109). 5. Теорема Пеано (111). 6. Равномерная непрерывность. Непрерывные отображения метрических компактов (113). 7. Обобщенная теорема Лрцела (114).
§ 8. Непрерывные кривые в метрических пространствах
Глава III Нормированные и топологические линейные пространства
§ 1. Линейные пространства
1. Определение и примеры линейных пространств (119). 2. Линейная зависимость (121). 3. Подпространства (122). 4. Фактор-пространства (123). 5. Линейные функционалы (124). 6. Геометрический смысл линейного функционала (126).
§ 2. Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема
Хана - Банаха
1. Выпуклые множества и выпуклые тела (128). 2. Однородно-выпуклые функционалы (130). 3. Функционал Минковского (132). 4. Теорема Хана - Банаха (134). 5. Отделимость выпуклых множеств в линейном пространстве (137).
§ 3. Нормированные пространства
1. Определение и примеры нормированных пространств (139).
2. Подпространства нормированного пространства (140). 3. Фактор-
пространства нормированного пространства (141).
§ 4. Евклидовы пространства
1. Определение евклидовых пространств (143). 2. Примеры (145).
3. Существование ортогональных базисов, ортогонализацня (147).
4. Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы (149).
5. Полные евклидовы пространства. Теорема Рисса - Фишера (152).
6. Гильбертово пространство. Теорема об изоморфизме (155).
7. Подпространства, ортогональные дополнения, прямая сумма (158).
8. Характеристическое свойство евклидовых пространств (161).
9. Комплексные евклидовы пространства (164).
§ 5. Топологические линейные пространства
1. Определение и примеры (167). 2. Локальная выпуклость (169). 3. Счетно-нормированные пространства (170).
Глава IV Линейные функционалы и линейные операторы
§ 1.Непрерывные линейные функционалы
1. Непрерывные линейные функционалы в топологических линейных пространствах (174). 2. Линейные функционалы на нормированных пространствах (175). 3. Теорема Хана - Банаха в нормированном пространстве (179). 4. Линейные функционалы в счетно-нормиро-ваниом пространстве (181).
" 2. Сопряженное пространство
1. Определение сопряженного пространства (182). 2. Сильная топология в сопряженном пространстве (182). 3. Примеры сопряженных пространств (185). 4. Второе сопряженное пространство (19Э).
§ 3. Слабая топология и слабая сходимость
1. Слабая топология и слабая сходимость в линейном топологическом пространстве (192). 2. Слабая сходимость в нормированных пространствах (194). 3. Слабая топология и слабая сходимость в сопряженном пространстве (197). 4. Ограниченные множества в сопряженном пространстве (199).
§ 4. Обобщенные функции
1. Расширение понятия функции (203). 2. Пространство основных функций (204). 3. Обобщенные функции (205). 4. Действия над обобщёнными функциями (207). 5. Достаточность запаса основных функций (210). 6. Восстановление функции по производной. Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций (211). 7. Некоторые обобщения (214).
¦
§ 5. Линейные операторы
1. Определение и примеры линейных операторов (218). 2. Непрерывность и ограниченность (222). 3. Сумма и произведение операторов (223). 4. Обратный оператор, обратимость (224). 5. Сопряженные операторы (230). 6. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженные операторы (232). 7. Спектр оператора. Резольвента (234).
§ 6. Компактные операторы
1. Определение и примеры компактных операторов (237). 2. Основные свойства компактных операторов (241). 3. Собственные значения компактного оператора (244). 4. Компактные операторы в гильбертовом пространстве (245). 5. Самосопряженные компактные операторы в Н (246).
Глава V Мера, измеримые функции, интеграл
§ 1. Мера плоских множеств
1. Мера элементарных множеств (251). 2. Лебегова мера плоских множеств (256). 3. Некоторые дополнения и обобщения (262).
¦
§ 2. Общее понятие меры. Продолжение меры с полукольца на кольцо.
Аддитивность и а-аддитивность
1. Определение меры (265). 2. Продолжение меры с полукольца на порожденное им кольцо (266). 3. а-аддитивность (268).
§ 3. Лебегово продолжение меры
1. Лебегово продолжение меры, определенной на полукольце с единицей (271). 2. Продолжение меры, заданной на полукольце без единицы (274). 3. Расширение понятия измеримости в случае а-конечной меры (276). 4. Продолжение меры по Жордану (279). 5. Однозначность продолжения меры (280).
§ 4. Измеримые функции
1. Определение и основные свойства измеримых функций (282).
2. Действия над измеримыми функциями (283). 3. Эквивалент
ность (285). 4. Сходимость почти всюду (286). 5. Теорема Его
рова (287). 6. Сходимость по мере (288). 7. Теорема Лузина. С-свой-
ство (291).
§ 5. Интеграл Лебега
1. Простые функции (292). 2. Интеграл Лебега для простых функций (292). 3. Общее определение интеграла Лебега на множестве конечной меры (294). 4. а-аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега (298). 5. Предельный переход под знаком интеграла Лебега (302). 6. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры (306). 7. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана (307).
§ 6. Прямые произведения систем множеств и мер. Теорема Фубини 1. Произведения систем множеств (310). 2. Произведения мер (312). 3. Выражение плэской меры через интеграл линейной меры сече ний и геометрическое определение интеграла Лебега (314). 4. Тео рема Фубини (316).
Глава VI Неопределенный интеграл Лебега. Теория дифференцирования
§ 1. Монотонные функции. Дифференцируемость интеграла по верхнему
пределу
1. Основные свойства монотонных функций (321). 2. Дифференцируемость монотонной функции (324). 3. Производная интеграла по верхнему пределу (331).
§ 2. Функции с ограниченным изменением
§ 3. Производная неопределенного интеграла Лебега
§ 4. Восстановление функции по ее производной. Абсолютно непрерыв ные функции
§ 5. Интеграл Лебега как функция множества. Теорема Радона-Никодима
1. Заряды. Разложение Хана и разложение Жордана (349).
2. Основные типы зарядов (352). 3. Абсолютно непрерывные за
ряды. Теорема Радона - Никодима (353).
§ 6. Интеграл Стилтьеса
1. Меры Стилтьеса (356). 2. Интеграл Лебега - Стилтьеса (358).
3. Некоторые применения интеграла Лебега - Стилтьеса в теории
вероятностей (360). 4. Интеграл Римана - Стилтьеса (362). 5. Пре
дельный переход под знаком интеграла Стилтьеса (366). 6. Общий
вид линейных непрерывных функционалов в пространстве непрерыв
ных функций (369).
Глава VII Пространства суммируемых функций
§ 1. Пространство L\
1. Определение и основные свойства пространства L\ (375). 2. Всюду плотные множества в I, (377).
§ 2. Пространство L2
1. Определение и основные свойства (380). 2. Случай бесконечной меры (384). 3. Всюду плотные множества в L2. Теорема об изоморфизме (385). 4. Комплексное пространство L2 (387). 5. Сходимость в среднем квадратичном н ее связь с другими типами сходимости функциональных последовательностей (387).
3. Ортогональные системы функций в L2. Ряды по ортогональным
системам :
1. Тригонометрическая система. Тригонометрический ряд Фурье (390).
2. Тригонометрические системы иа отрезке [0, л] (393). 3. Ряд
Фурье в комплексной форме (394). 4. Многочлены Лежандра (395).
5. Ортогональные системы в произведениях. Кратные ряды
Фурье (397). 6. Многочлены, ортогональные относительно данного
веса (399). 7. Ортогональный базис в пространствах L2 (-оо, оо)
и L2(0, оо). (401). 8. Ортогональные многочлены с дискретным
весом (402). 9. Системы Хаара и Радемахера - Уолша (404).
Глава VIII Тригонометрические ряды. Преобразование Фурье
§ 1. Условия сходимости ряда Фурье
1. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке (406).
2. Условия равномерной сходимости ряда Фурье (412).
§ 2. Теорема Фейера
1. Теорема Фейера (415). 2. Полнота тригонометрической системы. Теорема Вейерштрасса (418). 3. Теорема Фейера для пространства L (419).
§ 3. Интеграл Фурье
1. Основная теорема (419). 2. Интеграл Фурье в комплексной форме (422).
§ 4. Преобразование Фурье, свойства и применения
1. Преобразование Фурье и формула обращения (423). 2. Основные свойства преобразования Фурье (427). 3. Полнота функций Эрмита и Лагерра (431). 4. Преобразование Фурье быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций (431). 5. Преобразование Фурье и свертка функций (432). 6. Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности (433). 7. Преобразование Фурье функций нескольких переменных (435).
§ 5. Преобразование Фурье в пространстве Ц
1. Теорема Планшереля (438). 2. Функции Эрмита (442).
§ 6. Преобразование Лапласа
1. Определение и основные свойства преобразования Лапласа (445).
2. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений (операторный метод) (446).
§ 7. Преобразование Фурье - Стилтьеса
1. Определение преобразования Фурье - Стилтьеса (448). 2. Применения преобразования Фурье - Стилтьеса в теории вероятностей (450).
$ 8. Преобразование Фурье обобщенных функций
Глава IX Линейные интегральные уравнения
§ 1. Основные определения. Некоторые задачи, приводящие к интегральным уравнениям
1. Типы интегральных уравнений (456). 2. Примеры задач, приводящих к интегральным уравнениям (457).
$ 2. Интегральные уравнения Фредгольма
1. Интегральный оператор Фредгольма (460). 2. Уравнения с симметрическим ядром (463). 3. Теоремы Фредгольма. Случай вырожденных ядер (465). 4. Теоремы Фредгольма для уравнений с произвольными ядрами (467). 5. Уравнения Вольтерра (472). 6. Интегральные уравнения первого рода (473).
§ 3. Интегральные уравнения, содержащие параметр. Метод Фредгольма
1. Спектр компактного оператора в Н (474). 2. Отыскание решения в виде ряда по степеням Я. Детерминанты Фредгольма (475).
Глава X Элементы дифференциального исчисления в линейных пространствах
§ 1. Дифференцирование в линейных пространствах
1. Сильный дифференциал (дифференциал Фреше) (480). 2. Слабый дифференциал (дифференциал Гато) (482). 3. Формула конечных приращений (482). 4. Связь между слабой и сильной дифференцируемостью (483). 5. Дифференцируемые функционалы (485). 6. Абстрактные функцил (485). 7. Интеграл (485). 8. Производные высших порядков (488). 9. Дифференциалы высших порядков (491). 10. Формула Тейлора (491).
§ 2. Теорема о неявной функции и некоторые ее применения
1. Теорема о неявной функции (492). 2. Теорема о зависимости решения дифференциального уравнение от начальных данных (495). 3. Касательные многообразия. Теорема Люстерника (496).
§ 3. Экстремальные задачи
1. Необходимое условие экстремума (500). 2. Второй дифференциал. Достаточные условия экстремума функционала (5ЭЗ). 3. Экстремальные задачи с ограничениями (506).
§ 4. Метод Ньютона Дополнение Банаховы алгебры
§ 1. Определение и примеры банаховых алгебр
1. Банаховы алгебры, изоморфизмы банаховых алгебр (513). 2. Примеры банаховых алгебр (514). 3. Максимальные идеалы (515).
§ 2. Спектр и резольвекта
1. Определения и примеры (516). 2. Свойства спектра (517). 3. Теорема о спектральном радиусе (519).
§ 3. Некоторые вспомогательные результаты
1. Теорема о фактор-алгебре (520). 2. Три леммы (521).
§ 4. Основные теоремы
1. Линейные непрерывные мультипликативные функционалы и максимальные идеалы (521). 2. Топология во множестве Л. Основные теоремы (523). 3. Теорема Винера; упражнения (525).
Краткая аннотация книги
Книга представляет собой учебник, соответствующий в основном той программе курса "Анализ III", которая принята в МГУ и в ряде других университетов. Предназначена в первую очередь для студентов механико-математических и физико-математических факультетов университетов. Для ее чтения требуется владение основами математического анализа и линейной алгебры. Первая часть содержит основные теоретико-множественные понятия. В главах II-IV изложена теория линейных пространств, включающая элементы теории обобщенных функций. Эти главы, а также примыкающая к ним глава X, посвященная некоторым вопросам нелинейнего функционального анализа, не предполагают знакомства с понятием меры и лебеговой теорией интегрирования. Теория меры, измеримые функции, интеграл Лебега, а также лебегова теория дифференцирования и основные свойства линейных пространств суммируемых функций излагаются в главах V-VII. Глава VIII содержит ряды Фурье и интеграл Фурье. В главе IX изложены основные факты из теории интегральных уравнений. Помещенное в конце книги Дополнение содержит краткое изложение основных сведений о банаховых алгебрах и некоторых их применениях.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Это издание выходит уже после смерти Сергея Васильевича Фомина. Он успел, однако, проделать всю основную работу по усовершенствованию книги. Существенно переработана десятая глава. В ней добавлен параграф, посвященный теореме о неявкой функции и изменен параграф "Экстремальные задачи". Эти изменения повлекли за собой необходимость изменений в четвертой главе (следствия из теоремы Хана - Банаха и теоремы Банаха об обратном операторе).
Текст книги был просмотрен В. М. Алексеевым и В. М. Тихомировым, которым я выражаю искреннюю благодарность.
А. Колмогоров
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Первое издание "Элементов теории функций и функционального анализа" вышло двумя отдельными выпусками в 1954 и 1960 годах. Появление этих выпусков было связано с включением в конце 40-х годов в программу механико-математического-факультета МГУ курса "Анализ III", объединявшего элементы: теории меры и теории функций, интегральные уравнения, сведения из функционального анализа, а позже и вариационное исчисление. Этот курс, читавшийся в МГУ сперва А. Н. Колмогоровым, а потом и другими лекторами, в том числе С. В. Фоминым, вошел в дальнейшем в программы и других университетов.
В свое время замена в МГУ отдельных курсов теории функций действительного переменного, интегральных уравнений и вариационного исчисления единым курсом "Анализ III" вызвала большие споры. Перед курсом была поставлена задача приучить студентов к двойному зрению: с одной стороны, следить за внутренней логикой развития теории множеств, общей теории непрерывных отображений метрических и топологических пространств,, линейных пространств и функционалов и операторов на них, чистой теории меры и интегрирования в общих "пространствах с мерой", с другой, не упускать из виду обслуживаемую этими более абстрактными областями математики проблематику классического и даже прикладного анализа.
При решении этой задачи мы в планировке книги отдаем предпочтение абстрактной линии построения курса. От общей теории множеств (глава I) можно перейти к метрическим и топологическим пространствам и их непрерывным отображениям" (глава II) либо непосредственно к пространствам с мерой (без топологии) и интегрированию в них (глава V). В главах III и IV изучаются линейные пространства и линейные функционалы и операторы в них. От этих глав возможен прямой переход к главе X (нелинейные дифференцируемые операторы и функционалы). В главе VII изучаются линейные пространства суммируемых функций. Лишь в главах VI и VIII внимание, по существу, сосредоточено на функциях действительного переменного.
Хотя в первую очередь в нашей книге излагаются общие понятия теории функций и функционального анализа, внимание к примыкающей сюда классической проблематике читатель может проследить почти во всех главах. Включение в книгу глав VI (теория дифференцирования), VIII (тригонометрические ряды и интеграл Фурье) и IX (линейные интегральные уравнения) приводит к тому, что сейчас наша книга охватывает всю программу принятого в МГУ курса "Анализ III", кроме вариационного исчисления. Мы не включили этот раздел в нашу книгу, ограничившись лишь изложением в главе X самых первых представлений о нелинейном функциональном анализе. В новом издании, как и в первоначальном, значительное место занимает-общая теория меры. В последнее время появилось довольно много изложений теории интегрирования, основанной на схеме Даниеля, не использующей аппарата теории меры. Мы полагаем, однако, что теория меры достаточно важна и сама по себе, независимо от введения понятия интеграла, и заслуживает включения в университетский курс.
Включение новых глав заметно увеличило объем книги. Старые главы тоже существенно переработаны и в них включены новые параграфы (например, о порядковых типах и трансфинитных числах, топологических пространствах, обобщенных функциях и др.). Перерабатывая нашу книгу и включая в нее новые разделы, мы старались, однако, сохранить в ней тот сравнительно элементарный стиль изложения, который был выдержан, как нам кажется, в первом издании. Мы надеемся, что она найдет свое естественное место в университетском преподавании наряду с другими руководствами, в частности, с книгой Г. Е. Шилова "Математический анализ, специальный курс", в которой более подчеркнута аналитическая сторона дела, а интерес к метрическим и топологическим пространствам, мерам и т. д. как самостоятельным объектам культивируется в меньшей степени.
А. Колмогоров С. Фомин
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
При подготовке нового издания мы сохранили общий план книги и постарались не увеличивать ее объем. Вместе с тем весь текст книги был заново просмотрен и отредактирован. Большую помощь в этой работе нам оказал Ф. В. Широков. В главах I и IV сделаны некоторые перестановки и изменения, облегчающие, на наш взгляд, переход от более простых понятий к более сложным (например, от банаховых пространств к более общим в гл. IV). Довольно существенно переработано изложение теории меры (гл. V). В последние годы в курс "Анализ III" часто включаются элементы теории банаховых алгебр и спектрального анализа. Поэтому мы сочли целесообразным включить в нашу книгу написанное В. М. Тихомировым дополнение, посвященное этим вопросам.
А. Колмогоров С. Фомин.
Примечание. Сохраняйте книги на мобильный телефон и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.