Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений
• Бесплатно скачать книгу, объем 4.24 Мб, формат .djvu
Издательство иностранной литературы, Москва, 1958 год
Глава I. СУЩЕСТВОВАНИЕ и ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
§ 1. Существование решений
§ 2. Единственность решений
§ 3. Метод последовательных приближений
§ 4. Продолжение решений
§ 5. Системы дифференциальных уравнений
§ 6. Уравнение порядка n
§ 7. Зависимость решений от начальных данных и параметров
§ 8. Комплексные системы
Глава II. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 1. Расширение понятия решения. Верхние и нижние решения
§ 2. Уточнения теорем единственности
§ 3. Единственность и последовательные приближения
§ 4. Зависимость решений от начальных данных и параметров
Глава III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Предварительные определения и обозначения
§ 2. Линейные однородные системы
§ 3. Неоднородные линейные системы
§ 4. Линейные системы с постоянными коэффициентами
'
§ 5. Линейные системы с периодическими коэффициентами
§ 6. Линейные дифференциальные уравнения порядка п
§ 7. Линейные уравнения с аналитическими коэффициентами
§ 8. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем
Глава IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ИЗОЛИРОВАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ. ОСОБЕННОСТИ ПЕРВОГО РОДА
§ 1. Введение
§ 2. Классификация особенностей
§ 3. Формальные решения
§ 4. Строение фундаментальных матриц
§ 5. Уравнение порядка n
§ 6. Особенности в бесконечности
§ 7. Пример. Уравнение второго порядка
§ 8. Метод Фробениуса
Глава V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ИЗОЛИРОВАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ. ОСОБЕННОСТИ ВТОРОГО РОДА
§ 1. Введение
§ 2. Формальные решения
§ 3. Асимптотические ряды
§ 4. Существование решений, которые имеют своими асимптотическими разложениями формальные решения. Действительный случай
§ 5. Асимптотическая природа формального решения в комплексном случае
§ 6. Случай, когда матрица Д, имеет кратные характеристические корни
§ 7. Иррегулярные особые точки уравнения порядка n
§ 8. Интеграл Лапласа и асимптотические ряды
Глава VI. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ БОЛЬШОЙ ПАРАМЕТР
§ 1. Введение
§ 2. Формальные решения
§ 3. Асимптотическое поведение решений
§ 4. Случай равных характеристических корней
§ 5. Уравнение порядка n
Глава VII. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В СЛУЧАЕ КОНЕЧНОГО ИНТЕРВАЛА
§ 1. Введение
§ 2. Самосопряженные задачи на собственные значения
§ 3. Существование собственных значении
§ 4. Теоремы разложения и полноты
Глава VIII. ТЕОРЕМЫ осцилляции и СРАВНЕНИЯ для ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Теоремы сравнения
§ 2. Существование собственных значений
§ 3. Периодические краевые условия
§ 4. Области устойчивости для уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами
Глава IX. СИНГУЛЯРНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Введение
§ 2. Случаи предельной точки и предельного круга
§ 3. Теоремы полноты и разложения в случае предельной точки в бесконечности
§ 4. Случай предельного круга в бесконечности
§ 5. Сингулярное поведение на обоих концах интервала
Глава X. СИНГУЛЯРНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА n
§ 1. Введение
§ 2. Теорема разложения и равенство Парсеваля
§ 3. Теорема обратного преобразования и единственность спектральной матрицы
§ 4. Функция Грина
§ 5. Представление спектральной матрицы при помощи функции Грина
Глава XI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВАЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
§ 1. Введение
§ 2. Формула краевых форм
§ 3. Однородные краевые задачи и сопряженные задачи
§ 4. Неоднородные краевые задачи и функция Грина
Глава XII. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Введение
§ 2. Функция Грина и теорема разложения для случая Lx = -х"
§ 3. Функция Грина и теорема разложения для случая Lx = - х" + q(t)x
§ 4. Случай уравнения порядка п
§ 5. Характер разложения
Глава XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. УСТОЙЧИВОСТЬ
§ 1. Асимптотическая устойчивость
§ 2. Первая вариация. Устойчивость траекторий (орбитальная устойчивость)
§ 3. Асимптотическое поведение одной системы
§ 4. Условная устойчивость
§ 5. Поведение решений вне устойчивого многообразия
Глава XIV. ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
§ 1. Неавтономные системы
§ 2. Автономные системы
§ 3. Возмущение линейной системы с периодическим решением в неавтономном случае
§ 4. Возмущение автономной системы с обращающимся в нуль якобианом
Глава XV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДВУМЕРНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
§ 1. Двумерные линейные системы o.
§ 2. Возмущения двумерной линейной системы
§ 3. Правильные узлы и правильные фокусы
§ 4. Центры
§ 5. Неправильные узлы
§ 6. Седла
Глава XVI. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ-БЕНДИКСОНА ДВУМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
§ 1. Предельные множества траектории
§ 2. Теорема Пуанкаре-Бендиксона
§ 3. Предельные множества с особыми точками
§ 4. Индекс изолированной особой точки
§ 5. Индекс простой особой точки
Глава XVII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ
§ 1. Введение
§ 2. Числа вращения
§ 3. Производное множество
§ 4. Эргодический случай
§ 5. Характеристика решений в эргодическом случае
§ 6. Система двух уравнений
Краткая аннотация книги
В книге американских математиков Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона "Теория обыкновенных дифференциальных уравнений" дается оригинальное, содержащее ряд новых результатов изложение современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Представлены следующие разделы: теоремы существования и единственности, линейные уравнения, аналитическая теория дифференциальных уравнений, асимптотика, задачи на собственные значения, теория возмущений, теория Пуанкаре-Бендиксона и теория дифференциальных уравнений на торе. Книга будет очень полезна всем математикам, физикам и инженерам, так или иначе соприкасающимся с дифференциальными уравнениями.
Книга Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона содержит подробное изложение разнообразных разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Наряду с традиционными разделами этой теории, например таким и, как теоремы существования и единственности или теория линейных систем, авторы дают довольно подробное изложение аналитической теории дифференциальных уравнений, теории самосопряженных краевых задач как для конечного, так и для бесконечного интервала, а также введение в теорию несамосопряженных краевых задач.
Перечисленные разделы составляют содержание глав с I по XII включительно и, по существу, образуют первую часть книги, посвященную линейным уравнениям. Вторая часть книги, именно главы с XIII по XVII, посвящена нелинейной теории. Здесь изучается устойчивость решений, периодические решения и теория возмущения систем, имеющих периодическое решение, качественная теория систем второго порядка (включая теорию Пуанкаре-Бендиксона) и, наконец, теория уравнений на торе. Более подробное представление о содержании книги читатель может получить из оглавления.
Книга содержит много новинок. Большой интерес представляет систематическое применение в аналитической теории дифференциальных уравнений понятия формального решения. Спектральная теория самосопряженных дифференциальных уравнений изложена независимо от теории операторов в пространстве Гильберта. К каждой главе приложено большое число задач; при этом наряду с легкими имеются также задачи значительной трудности. В большинстве случаев трудные задачи сопровождаются указаниями авторов, облегчающими их решение. Следует заметить, что решения многих задач можно найти в журнальных статьях, однако авторы в таких случаях ссылок на литературу не дают.Книга является хорошим введением в большое число важных разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений и может быть использована в качестве учебного пособия для студентов и аспирантов физико-математических факультетов, а также может оказаться полезной для научных работников.
Эта книга возникла из лекций, читанных авторами, и содержит, вероятно, больше материала, чем обычно излагается в одногодичном курсе. Выбор материала частично обусловлен интересами авторов. Мы надеемся, что книга окажется полезной как в области практических применений дифференциальных уравнений, так и для математиков, не занимающихся приложениями. Для чтения книги необходимо знакомство с теорией матриц и с основами теории функций комплексного переменного. Понятие интеграла Лебега используется в главах II, VII, IX и X. Однако глава II необходима лишь для некоторых параграфов главы XV, которые в части, относящейся к практическим применениям, полностью покрываются главой XIII. В главе VII можно легко обойтись без интеграла Лебега, что там и указано. Однако строгое изучение глав IX и X требует известного математического развития и, во всяком случае, предполагает понимание тех теорем теории интегрирования, которые здесь используются. Другой подход состоит в применении теории глав IX и X к ограниченному классу функций, как это указано в доказательстве теоремы 3.1 гл. IX. Этот подход предполагает лишь знание интеграла Римана-Стильтьеса.
Главы III-XII посвящены линейным уравнениям. Для линейной теории теоремы существования решений гл. I не необходимы. Теорема, необходимая для гл. III, намечена в задаче 1, помещенной в конце этой главы. Для глав IV и V достаточны результаты § 7 гл. III. Задача 7 гл. I обеспечивает необходимые дополнительные результаты существования для глав VII-XII. Главы IV, V и VI не используются ни в одной из последующих глав. Глава VIII также не нужна ни для одной из последующих глав, не исключая глав IX и X. Глава VIII не зависит от главы VII. Для главы XII требуется лишь глава VII, а для § 5 - также глава XI. Для глав XIII и XIV нужны только главы I и III. Для большей части главы XV и для глав XVI и XVII достаточна гл. I.
Не делается никакой попытки показать историческое возникновение теории, и в конце книги дано только ограниченное число ссылок. В соответствии с этим авторы не делают указаний в тексте в тех случаях, когда они излагают новые результаты. Задачи в некоторых случаях дают дополнительный материал, не рассмотренный в тексте.
Примечание. Сохраняйте книги на мобильный телефон и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.