Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
Г. Харди, Расходящиеся ряды
• Бесплатно скачать книгу, объем 4.28 Мб, формат .djvu (монография, Москва, 1951)
Глава I. Введение
1.1. Сумма ряда
1.2. Некоторые вычисления с расходящимися рядами
1.3. Первоначальные определения
1.4. Регулярность метода
1.5. Расходящиеся интегралы и обобщенные пределы функций непрерывного переменного
1.6. Некоторые исторические замечания
1.7. Замечания о британских аналитиках первой половины девятнадцатого века
Примечания к главе I
Глава II. Несколько исторических примеров
2.1. Введение. Эйлер и функциональное уравнение дзета-функции Римана
2.2. Функциональное уравнение для
2.3. Эйлерова проверка
2.4. Суммирование ряда
2.5. Асимптотическое поведение ряда
2.6. Численные расчеты Фурье и его теорема
2.7. Теорема Фурье
2.8. Первая формула Фурье
2.9. Другие формы коэффициентов и рядов
2.10. Законность формул Фурье. Показательный ряд Хэвисайда
2.11. Хэвисайд о расходящихся рядах
2.12. Обобщенный показательный ряд
2.14. Обобщенный биномиальной ряд
Примечания к главе II
Глава III. Общие теоремы
3.1. Линейные преобразования
3.2. Регулярные преобразования
3.3. Доказательство теорем 1 и 2
3.4. Доказательство теоремы 3
3.5. Варианты и аналоги
3.6. Положительные преобразования
3.7. Теорема Кноппа
3.8. Одно применение теоремы 2
3.9. Разбавление рядов
Примечания к главе III
Глава IV. Частные методы суммирования
4.1. Методы Вороного
4.2. Регулярность и совместность методов Вороного
4.3. Включение
4.4. Равносильность
4.5. Еще одна теорема о включении
4.6. Метод Эйлера
4.7. Методы Абеля
4.8. Теорема о включении для абелевских средних
4.9. Комплексные методы
4.10. Суммируемость ряда 1 - 1 + 1 - 1 + ... отдельными методами Абеля
4.11. Методы Линделефа и Миттаг-Леффлера
4.12. Методы суммирования, определяемые целыми функциями
4.13. Моментные методы
4.14. Теорема совместности
4.15. Методы, неэффективные для расчета
4.16. Нормальные средние Рисса
4.17. Методы, возникшие под влиянием теории рядов Фурье
4.18. Общий принципы
Примечания к главе IV
Глава V. Арифметические средние
5.1. Введение
6.1. Методы Гельдера
5.1. Элементарные теоремы относительно суммируемости по Гельдеру
5.2. Методы Чезаро
5.3. Средние нецелого порядка
5.4. Теорема о свертках
5.5. Простейшие теоремы относительно суммируемости по Чезаро
5.6. Теорема равносильности
5.7. Теорема Мерсера и доказательство Шура теоремы равно
сильности
5.8. Другие доказательства теоремы Мерсера
5.9. Бесконечные пределы
5.10. Суммируемость по Чезаро и по Абелю
5.11. Чезаровские средние как средние Вороного
5.12. Интегралы
5.13. Теоремы о суммируемых интегралах
5.14. Риссовские арифметические средние
5.15. Равномерно распределенные последовательности
5.18. Равномерная распределенность последовательности
Примечания к главе V
Глава VI. Арифметические средние
6.1. Теоремы тауберова типа для методов Чезаро
6.2. Медленно колеблющиеся и медленно убывающие функции
6.3. Другое условие тауберова типа
6.4. Теоремы о выпуклости
6.5. Множители сходимости
6.6. Множитель
6.7. Другое условие суммируемости
6.8. Интегралы
6.9. Биномиальный ряд
Примечания к главе VI
Глава VII. Теоремы тауберова типа для степенных рядов
7.1. Теоремы абелева и тауберова типов
7.2. Первая теорема Таубера
7.3. Вторая теорема Таубера
7.4. Применения к общим рядам Дирихле
7.5. Более глубокие теоремы тауберова типа
7.6. Доказательство теорем 96 и 96а
7.7. Доказательство теорем 91 и 91а
7.8. Дальнейшие замечания о связях между
7.10. Медленно колеблющиеся и медленно убывающие функции
7.11. Другое обобщение теоремы 98
7.12. Метод Харди и Литтльвуда
7.13. Теорема о "больших показателях"
Примечания к главе VII
Глава VIII. Методы Эйлера и Бореля
8.1. Введение
8.3. Простые свойства
8.4. Формальные связи между методами Эйлера и Бореля
8.5. Методы Бореля
8.6. Нормальная, абсолютная и регулярная суммируемость
8.7. Теоремы абелева типа для метода суммирования Бореля
8.8. Аналитическое продолжение функции, регулярной вначале, многоугольник суммируемости
8.9. Ряды, представляющие функции с особенностью в начале
8.10. Аналитическое продолжение другими методами
8.11. Суммируемость некоторых асимптотических рядов
Примечания к главе VIII
Глава IX. Методы Эйлера и Бореля (2
9.1. Элементарные леммы
9.2. Доказательство теоремы 137
9.3. Доказательство теоремы 139
9.4. Еще одна элементарная лемма
9.5. Теорема Островского о сверхсходимости
9.6. Теоремы тауберова типа для метода Бореля
9.7. Теоремы тауберова типа (продолжение)
9.8. Примеры рядов, не суммируемых
9.9. Теорема противоположного характера
9.10. Метод суммирования
9.11. Суммируемость
9.12. Дальнейшие замечания о теоремах 150-155
9.13. Основная теорема тауберова типа
9.14. Обобщения
9.15. Ряд
9.16. Методы Валирона
Примечания к главе IX
Глава X. Умножение рядов
10.1. Формальные правила умножения рядов
10.2. Классические теоремы об умножении по правилу
10.3. Умножение суммируемых рядов
10.4. Другие теоремы о сходимости произведения рядов
10.5. Дальнейшие применения теоремы 170
10.6. Знакочередующиеся ряды
10.7. Формальное перемножение рядов
10.8. Умножение интегралов
10.9. Суммируемость по Эйлеру
10.10. Суммируемость по Борелю
10.11. Правило умножения Дирихле
10.12. Ряды, бесконечные в обоих направлениях
10.13. Аналоги теорем Коши и Мертенса
10.14. Дальнейшие теоремы
10.15. Аналог теоремы Абеля
Примечания к главе X
Глава XI. Хаусдорфовские средние
11.1. Преобразование В
11.2. Выражение преобразований (Е, q) и (С, 1) через В
11.3. Общее хаусдорфовское преобразование
11.4. Общие гельдеровские и чезаровские преобразования как р-преобразования
11.5. Условия регулярности вещественных хаусдорфовских преобразований
11.6. Абсолютно монотонные последовательности
11.7. Окончательный вид условий регулярности
11.8. Моменты
11.9. Теорема Хаусдорфа
11.10. Включение и равносильность методов
11.11. Теорема Мерсера и равносильность гельдеровских и чезаровских средних
11.12. Некоторые частные случаи
11.13. Логарифмические случаи
11.14. Экспоненциальный случай
11.15. Ряд Лежандра для xW
11.16. Моменты для функции специальных классов
11.17. Одно неравенство для хаусдорфовских средник
11.18. Непрерывные преобразования
11.19. Квази-хаусдорфовские преобразования
11.20. Регулярность квази-хаусдорфовского преобразования
11.21. Примеры
Примечания к главе XI
Глава XII. Тауберовы теоремы Винера
12.1. Введение
12.2. Условие Винера
12.3. Леммы о преобразованиях Фурье
12.4. Леммы относительно класса U
12.5. Заключительные леммы
12.6. Доказательство теорем 221 и 220
12.7. Вторая теорема Винера
12.8. Теоремы для интервала (0, со)
12.9. Некоторые специальные ядра
12.10. Применение общих теорем к некоторым специальным ядрам
12.11. Применения к теории простых чисел
12.12. Односторонние условия
12.13. Теорема Виджаярагавана
12.14. Доказательство теоремы 238
12.15. Суммируемость по Борелю
12.16. Суммируемость (R, 2)
Примечания к главе XII
Глава XIII. Формула суммирования Эйлера-Маклорена
13.1. Введение
13.2. Числа Бернулли и многочлены Бернулли
13.3. Ассоциированные периодические функции
13.4. Знаки функций уп(х)
13.5. Формула суммирования Эйлера-Маклорена
13.6. Пределы при и -> оо
13.7. Знак и величина остаточного члена
13.8. Пуассоновское доказательство формулы Эйлера-Маклореиа
13.9. Об одной формуле Фуръе
13.10. Случай и дзета-функция Римана
13.11. Случай и теорема Стерлинга
13.12. Обобщение формулы Эйлера-Маклорена
13.13. Другие формулы для С
13.14. Исследование формулы Эйлера-Маклорена посредством комплексного интегрирования
13.15. Суммируемость ряда Эйлера-Маклорена
13.16. Дополнительные замечания
13.17. Определение суммы расходящегося ряда
Примечания к главе XIII
Приложение I. О вычислении некоторых определенных интегралов
с помощью расходящихся рядов
Приложение II. Ядра Фурье некоторых методов суммирования
Приложение III. О суммируемости по Римаиу и по Абелю
Приложение IV. О суммируемости по Ламберту и по Ингаму
Приложение V. Две теоремы Картрайта. Методы суммирования С. Н. Бернштейна и В. Рогозинского
Краткая аннотация книги
Настоящая книга представляет собой монографию, посвященную суммированию расходящихся рядов. Она содержит обширный исторический обзор вопроса, краткое введение в общую теорию суммирования рядов и подробное исследование ряда конкретных методов суммирования (методов Чезаро, Абеля, Вороного, Эйлера и др.).
Кроме того, здесь рассматриваются - приложения теории к задаче перемножения рядов, к исследованию формулы суммирования Эйлера-Маклорена, к аналитическому продолжению функций, к суммированию рядов Фурье и к нахождению значений определенных интегралов.
Книга рассчитана на математиков - научных работников, аспирантов и студентов старших курсов - и требует для своего чтения знания теории функций действительного и комплексного переменного. В некоторые своих разделах она может быть также полезна 'для тех инженеров, которые встречаются с расходящимися рядами.
Пожалуй, ни одна математическая дисциплина не нуждается так в обзорной монографии, как теория суммирования расходящихся рядов. Посвященная ей журнальная литература непрерывно увеличивается и почти необозрима. Некоторые теоремы до того обросли обобщениями, вариантами и аналогами, что во всем этом лесу трудно ориентироваться без хорошего путеводителя. Частично эту роль и выполняет книга Г. Харди "Расходящиеся ряды". Читатель найдет здесь обширный исторический обзор вопроса (гл. I-II), краткое введение в общую теорию суммирования рядов (гл. III), подробное исследование многих конкретных методов суммирования (гл. IV-IX), изложение теории Винера и свойств хаусдорфовских средних (гл. XI и XII), а также некоторые приложения теории (гл. X и XIII).
Этот перечень показывает, что в книге затронуты далеко не все вопросы теории суммирования рядов. Например, автор ограничивается определением абсолютной суммируемости по Чезаро и не изучает это понятие. Далее, автор совершенно не рассматривает суммирование двойных и кратных рядов. Возникающие здесь специфические трудности не нашли никакого отражения в книге. Наконец, автор просто прошел мимо важной общей теории суммирования ограниченных по-o следовательностей, развитой главным образом молодым советским математиком А. Л. Брудно. Приложения теории суммирования к рядам Фурье развиты недостаточно подробно. Например, автор не излагает важных исследований Д. ?. Меньшова, С. М. Никольского и С. М. Лозинского по этим вопросам. В основном книга посвящена исследованию конкретных "классических" методов суммирования. Но и здесь изложение не является исчерпывающим. В частности, автор не рассматривает соотношения между методами суммирования при непрерывном и дискретном изменении параметра (М. П. Щеглов), а также важнейшие методы суммирования С. Н. Бернштейна-Рогозинского, изученные С. Н. Бернштейном, В. Рогозинским, Ф. И. Харшиладзе и другими. К книге приложена моя обзорная статья "Методы суммирования С. Н. Бернштейна и В. Рогозинского", Редакция отказалась от мысли дать также обзорные статьи, посвященные общей теории суммирования ограниченных последовательностей и суммирования рядов Фурье, так как эти темы очень обширны, и их рассмотрение требует привлечения средств функционального анализа, чуждых последовательной теоретико-функциональной точке зрения автора.
Как известно, в 1901 г. Г. Ф. Вороной ввел в рассмотрение метод суммирования.
Однако в иностранной математической литературе этот метод суммирования неправильно называется методом Нерлунда, хотя Нерлунд рассмотрел его только через 18 лет, в 1919 г. В настоящем переводе этому методу присвоено исторически правильное название метода Вороного.
Этот метод встречается уже у Бореля в его монографии, вышедшей в 1901 г., и относится к тому типу методов, которые были впоследствии подробно изучены М. Риссом. Поэтому для данного метода в переводе принято обозначение (R, рп).
Сделаем теперь несколько замечаний по поводу истории возникновения и развития теории суммирования расходящихся рядов. Основоположником теории суммирования рядов является Леонард Эйлер. Многие математики XVII и XVIII веков (Лейбниц, Бернулли, Далам-бер, Лагранж и др.) долго и безуспешно спорили о том, чему равна сумма расходящегося ряда. Эйлер первый понял, что задача поставлена неправильно и что нужно спрашивать: как определить сумму расходящегося ряда? Он пишет: И вот я говорю, что вся трудность кроется в названии "сумма". Действительно, если иод "суммой" ряда понимать, как это обычно делается, результат сложения всех его членов, то нет никакого сомнения, что суммы можно получить только для тех бесконечных рядов, которые являются сходящимися и дают результаты, тем более близкие к некоторому определенному значению, чем больще членов складывается. Расходящиеся же ряды, члены которых не убывают ..., вообще не будут иметь никаких определенных сумм, если только слово "сумма" понимается в смысле результата сложения всех членов.
Этих затруднений и кажущихся противоречий мы совершенно избежим, если мы припишем слову "сумма" значение, отличное от обычного. А именно, мы скажем, что сумма некоторого бесконечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд ... При этом соглашении, если ряд будет сходящимся, то новое определение слова "сумма" совпадает с обычным, а так как расходящиеся ряды не имеют никакой суммы в собственном смысле слова, то из этого нового определения не проистечет никаких неудобств. Приняв это определение, мы сможем сохранить выгоды пользования расходящимися рядами и в то же время защититься от всяческих обвинений".
Как видно из этой цитаты, точка зрения Эйлера на расходящиеся ряды вполне современна: расходящиеся ряды не имеют суммы в обычном смысле этого слова, однако возможно дать новое определение суммы ряда (мы бы сказали: определение метода суммирования рядов), применимое как ко всем сходящимся рядам, так и к некоторым расходящимся рядам; при этом от определения нужно потребовать, чтобы для сходящихся рядов новая сумма совпадала с обычной (мы бы сказали: метод должен быть регулярным). Что же касается конкретного определения Эйлера "сумма некоторого бесконечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд", то оно еще недостаточно четко и легко могло привести к противоречиям.
Эти высказывания Эйлера долгое время не были правильно поняты и способствовали некритическому допущению в анализ расходящихся рядов и основанных на них рассуждений. Достаточно отметить, что в большом трактате Лакруа по дифференциальному и интегральному исчислению (начало XIX века) вовсе не фигурирует понятие сходимости ряда и не излагаются известные к тому времени признаки сходимости (признак Лейбница, признак Даламбера и признак, который теперь часто называют интегральным признаком Коши). После произведенного в первой половине XIX века критического пересмотра основ анализа расходящиеся ряды были почти полностью изгнаны из математики. Однако они все же встречаются как у Коши, так и р более позднее время, например у Лагерра.
Современная теория суммирования расходящихся рядов начала бурно развиваться в конце XIX - начале XX века. Этому значительно способствовало то обстоятельство, что выявились связи этой теории с другими математическими дисциплинами. Так, Чезаро (1880) ввел свои методы суммирования в связи с рассмотрением задачи о перемножении рядов; Борель (1895-1901) изучал "метод Бореля" в связи с исследованием аналитического продолжения функций; наконец, Л. Фейер (1904) показал, какую пользу может принести теория суммирования рядов теории рядов Фурье. Этот период в основном завершился выходом в свет первой обзорной монографии Бореля (1901), посвященной расходящимся рядам. После этого теория расходящихся рядов стала доступной для широкого круга математиков, и ее развитие больше не останавливалось.
Примечание. Сохраняйте книги на мобильный телефон и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.