Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
А. Фридман, Вариационные принципы и задачи со свободными границами
• Бесплатно скачать книгу, 6.21 Мб, формат .djvu
Издательство "Наука", Москва, 1990
Глава 1. Вариационные неравенства: существование и регулярность
§ 1. Пример
§ 2. Общая теория существования и единственности
§ 3. W-регуляриость для задачи с препятствием
§ 4. W-регулярность для задачи с препятствием
§ 5. Задача фильтрации
§ 6. Задача упруго-пластического кручения
§ 7. Задача упруго-пластического кручения
§ 8. Параболические вариационные неравенства
§ 9. Задача Стефана
§ 10. Вариационные неравенства для бнгармонического оператора
§ 11. Тонкие препятствия
§ 12. Библиографические замечания
Глава 2. Вариационные неравенства: анализ свободной границы
§ 1. Преобразование годографа
§ 2. Регулярность в двумерном случае
§ 3. Общие свойства свободной границы
§ 4. Выпуклостькоинцидентногомножества
§ 5. Регулярность свободной границы
§ 6. Свободная граница в задаче фильтрации
§ 7. Регулярность свободной границы в задаче упруго-пластичности
§ 8. Форма свободной границы в задаче упруго-пластичности
§ 9. Свободная граница в задаче Стефана
§ 10. Устойчивость свободных границ
§ 11. Свободные границы с особенностями
§ 12. Библиографические замечания.
Глава 3. Струи и полости
§ 1. Примеры струй и полостей
§ 2. Вариационная задача
§ 3. Регулярность и невырожденность
§ 4. Регулярность свободной границы
§ 5. Некоторые леммы
§ 6. Сходимость свободных границ
§ 7. Симметричные перестановки
§ 8. Осесимметричные струйные течения
§ 9. Свободная граница - кривая х = к(у)
§ 10. Монотонность и единственность
§ 11. Теоремы о гладкой стыковке
§ 12. Существование и единственность для осе симметричных струйных течений
§ 13. Выпуклость свободной границы
§ 14. Плоские симметричные струйные гечения
§ 15.Асимметричные струйные течения
§ 16. Свободная граница в асимметричном случае
§ 17. Монотонность, непрерывность и существование для задачи об асимметричной струе
§ 18. Струи с учетам сил тяжести
§ 19. Непрерывная стыковка при учете сил тяжести
§ 20. Осесимметричные конечные полости
§ 21. Осесимметричные бесконечные полости
§ 22. Библиографические замечания
Глава 4. Вариационные задачи с потенциалами
§ 1. Осесимметричные вращения тяжелой жидкости
§ 2. Оценки объемных потенциалов
§ 3. Существование решений
§ 4. Быстро вращающиеся жидкости
§ 5. Кольца вращающихся жидкостей
§ 6. Вихревые кольца
§ 7. Энергетические тождества и оценки потенциалов
§ 8. Существование вихревых колец
§ 9. Оценка емкости
§ 10. Асимптотические оценки для вихревых колец
§ 11. Задача о плазме. Существование решений
§ 12. Свободная граница в задаче о плазме
§ 13. Асимптотические оценки в задаче о плазме
§ 14. Вариационный подход к задаче о плазме
§ 15 Модель Томаса-Ферми
§ 16. Существование решения для модели Томаса-Ферми
§ 17. Регулярность свободной границы в модели Томаса-Ферми
§ 18. Библиографические замечания
Глава 5. Некоторые задачи со свободной границей в инвариационной форме
§ 1. Уравнение пористой среды: существование и единственность
§ 2. Оценки расширения газа
§ 3. Непрерывность по Гёльдеру решения
§ 4. Движение и непрерывность по Гёльдеру свободной границы
§ 5. Дифференциальное уравнение на свободной границе
§ 6. Общая двумерная задача фильтрации. Существование
§ 7. Регулярность свободной фаницы
§ 8. Единственность в задаче фильтрации
§ 9. Задача фильтрации в n-мерном случае
§ 10. Двухфазная задача Стефана
§ 11. Библиографические замечания
Краткая аннотация книги
Излагаются основанные на теории вариационных неравенств новые методы исследования свободной границы для различных задач со свободными границами. Строгое математическое изложение удачно сочетается с демонстрацией постановок и результатов на конкретных физических задачах. Для специалистов в области математического анализа, дифференциальных уравнений, математической физики и их приложений. Доступна аспирантам и студентам старших курсов.
В связи с применением (где это возможно) вариационного подхода в исследовании задач со свободными границами за последнее время достигнуты важные успехи. Для задач, допускающих вариационный подход, без труда устанавливается, что решение существует в "слабом" смысле. Далее можно исследовать регулярность решения, а затем попытаться изучить гладкость свободной границы. Фактически за последние пять лет выявлены новые методы исследования свободных границ и создана теория, достигшая на данном этапе определенной ступени зрелости; будущее этой теории выглядит еще более обещающим. Все больше физических и инженерных задач начинают поддаваться этим методам. В связи с этим настало время обсудить основные достижения в данной области и систематизировать их. Поскольку многие основные результаты были мотивированы физическими моделями, мы сохранили при изложении тесную связь между общей теорией и приложениями к физическим примерам. Чтобы сделать книгу более доступной для неспециалистов в данной области, мы приводим необходимые сведения из теории эллиптических и параболических операторов (наиболее полно это проделано в первых двух главах). В конце каждого параграфа приведены задачи, а в конце каждой главы - библиографические замечания.
Предлагаемая читателю книга написана известным американским математиком А. Фридманом. В монографии изучаются задачи со свободными границами, т.е. задачи, в которых неизвестная заранее функция в разных частях области удовлетворяет качественно различным условиям. Граница раздела этих зон, называемая свободной границей, также является неизвестной. Значительное продвижение в исследовании задач со свободными границами произошло в последние годы в связи со становлением и развитием теории вариационных неравенств. Эта теория возникла из практической задачи (известной теперь как задача Синьорини) и тесно связана с приложениями.
Возможность постановки конкретной физической задачи со свободной границей в виде вариационного неравенства означает, по сути, возможность обобщенной постановки. Вариационные неравенства в современном понимании хотя и не всегда являются чисто вариационными задачами, но сохраняют некоторые черты, присущие таковым. Так, некоторые условия задачи явно не участвуют в вариационном неравенстве. Подобно тому как граничное условие в вариационной постановке задачи Неймана возникает лишь при интерпретации, при переходе к "дифференциальной" постановке, так и неизвестная свободная граница в вариационном неравенстве явно не фигурирует, и мы имеем дело лишь с одним неизвестным объектом - неизвестной функцией. Теоремы о разрешимости вариационных неравенств обобщают результаты по существованию минимума выпуклых функционалов и носят довольно общий характер. Так что если задача со свободными границами допускает постановку в виде вариационного неравенства, то общая теория позволяет говорить о ее разрешении в-слабом смысле.
Исследование дифференциальных свойств слабого решения,т.е. его гладкости,- вопрос более тонкий. Прежде всего отметим, что нельзя ожидать гладкой стыковки решения на свободной границе, поскольку условия на решение в зонах, разделяемых свободной границей, существенно различаются. Действительно, для таких задач характерны пороги гладкости. Столь общих, как результаты по разрешимости, теорем о регулярности решений вариационнных неравенств нет. Способы доказательств регулярности решений вариационных неравенств (в пределах, обусловленных порогом гладкости) подчинены конкретным видам ограничений. Исследования в данном направлении интенсивно ведутся, и полученные к настоящему времени результаты дают довольно полную картину в случае задач с дифференциальными операторами (эллиптическими и параболическими) второго порядка, в том числе и по вопросу о предельной гладкости.
Но, пожалуй, наиболее трудный и важный для приложений вопрос - это изучение свойств самой свободной границы. И здесь весьма перспективными представляются результаты и методы, изложенные в данной книге. В тех случаях, когда задача допускает постановку в виде вариационного неравенства, при исследовании свободной границы предполагается, что решение обладает предельной гладкостью. Вопросы регулярности решения для некоторых вариационных неравенств обсуждаются в гл. 1. Учитывая важность результатов по регулярности решений как предварительного этапа при исследовании свободных границ, я совместно с переводчиком подготовила библиографические замечания, дополняющие в основном материал гл. 1.
Примечание. Сохраняйте книги на мобильный телефон и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.