Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
Р. Беллман, Введение в теорию матриц
• Бесплатно скачать книгу, объем 4.54 Мб, формат .djvu
Глава 1. Максимизация и минимизация. Обоснование
§ 1. Введение (21).
§ 2. Максимизация функции одной переменной (21).
§ 3. Максимизация функции двух переменных (22).
§ 4. Алгебраический подход (23).
§ 5. Аналитический подход - I (25).
§ 6. Аналитический подход - II (26).
§ 7. Упрощающее преобразование (28).
§ 8. Другое необходимое и достаточное условие (29).
§ 9. Определенные и неопределенные формы (30).
§ 10. Геометрический подход (30).
§ 11. Обсуждение (32).
Глава 2. Векторы и матрицы
§ 1. Введение (34).
§ 2. Векторы (34).
§ 3. Сложение векторов (35).
§ 4. Умножение вектора на скаляр (36).
§ 5. Скалярное произведение двух векторов (36).
§ 6. Ортогональность (37).
§ 7. Матрицы (38).
§ 8. Умножение вектора на матрицу (39).
§ 9. Умножение матрицы на матрицу (40).
§ 10. Некоммутативность (42).
§ 11. Ассоциативность (43).
§ 12. Инвариантные векторы (44).
§ 13. Квадратичная форма как скалярное произведение (45).
§ 14. Транспонированная матрица (45).
§ 15. Симметрические матрицы (46).
§ 16. Эрмитовы матрицы (47).
§ 17. Ортогональные матрицы. Инвариантность расстояний (48).
§ 18. Унитарные матрицы (49).
Глава 3. Диагонализация и канонические формы симметрических матриц
§ 1. Резюме (56).
§ 2. Решение системы линейных однородных уравнений (56).
§ 3. Собственные векторы и собственные значения (58).
§ 4. Два фундаментальных свойства симметрических матриц (59).
§ 5. Приведение к диагональной форме. Различные собственные значения (61).
§ 6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду (63).
§ 7. Положительно определенные квадратичные формы и матрицы (65).
Глава 4. Приведение симметрических матриц к диагональной форме в общем случае
§ 1. Введение (68).
§ 2. Линейная зависимость (68).
§ 3. Ортогонализация Грама- мидта (68).
§ 4. Положительность определителей Грама Dk (72).
§ 5. Одно тождество (73).
§ 6. Диагонализация симметрической матрицы второго порядка (75).
§ 7. N-мерный случай (77).
§ 8. Необходимое и достаточное условие положительной определенности (80).
§ 9. Собственные векторы, соответствующие кратным собственным значениям (80).
§ 10. Теорема Гамильтона-Кэли для симметрических матриц (81).
§ 11. Одновременное приведение к диагональной форме (81).
§ 12. Одновременное приведение к сумме квадратов (84).
§ 13. Эрмитовы матрицы (85).
§ 14. Исходная проблема максимизации (85).
§ 15. Теория возмущений - I (86).
§ 16. Теория возмущений - II (87).
Глава 5. Условные экстремумы
§ 1. Введение (99).
§ 2. Детерминантный критерий положительной определенности (критерий Сильвестра) (99).
§ 3. Представление в виде суммы квадратов (102).
§ 4. Связанные вариации и теорема Финслера (102).
§ 5. Случай к = 1 (104).
§ 6. Задача о минимизации (107).
§ 7. Общий случай (109).
§ 8. Прямоугольные матрицы (109).
§ 9. Клеточные матрицы (111).
§ 10. Решение задачи в общем случае (112).
Глава 6. Функции от матрицы
§ 1. Введение (117).
§ 2. Функции от симметрической матрицы (117).
§ 3. Обратная матрица (118).
§ 4. Единственность обратной матрицы (118).
§ 5. Квадратные корни (121).
§ 6. Параметрическое представление (122).
§ 7. Результат Шура (122).
§ 8. Основные скалярные функции (123).
§ 9. Несобственный интеграл (125).
§ 10. Аналог для эрмитовых матриц (127).
§ 11. Связь (128).
Глава 7. Вариационное описание характеристических чисел
§ 1. Введение (140).
§ 2. Отношение Релея (140).
§ 3. Вариационные свойства характеристических чисел (141).
§ 4. Обсуждение (142).
§ 5. Геометрические предпосылки (143).
§ 6. Теорема Куранта - Фишера о минимаксном представлении характеристических чисел (143).
§ 7. Монотонное поведение (146).
§ 8. Теорема отделения Штурма (146).
§ 9. Необходимое и достаточное условие положительной определенности матрицы (147).
§ 10. Теорема отделения Пуанкаре (147).
§ 11. Теорема о представлении (148).
§ 12. Приближенные методы (149).
Глава 8. Неравенства
§ 1. Введение (155).
§ 2. Неравенство Коши-Шварца (155).
§ 3. Интегральный вариант (156).
§ 4. Неравенство Гёльдера (156).
§ 5. Вогнутость (158).
§ 6. Одно полезное неравенство (158).
§ 7. Неравенство Адамара (159).
§ 8. Вогнутость произведения (160).
§ 9. Аддитивные неравенства, вытекающие из мультипликативных (161).
§ 10. Другой путь (162).
§ 11. Более простое выражение (163).
§ 12. Неравенство между
средним арифметическим и средним геометрическим (164).
§ 13. Мультипликативные неравенства, вытекающие из аддитивных (165).
Глава 9. Динамическое программирование
§ 1. Введение (173).
§ 2. Задача наименьшего отклонения (173).
§ 3. Функциональное уравнение (174).
§ 4. Рекуррентные соотношения (175).
§ 5. Более сложный пример (175).
§ 6. Проблема Штурма-Лиувилля (176).
§ 7, Функциональные уравнения (178).
§ 8. Матрицы Якоби (179).
§ 9. Аналитическое продолжение (180).
§ 10. Несимметрические матрицы (181).
§ 11. Случай комплексной матрицы А (182).
§ 12. Слабо связанные системы (183).
§ 13. Упрощения - I (184).
§ 14. Упрощения - II (184).
§ 15. Уравнение Ах=у (185).
§ 16. Квадратичное уклонение (186).
§ 17. Результат Стилтьеса(188).
Глава 10. Матрицы и дифференциальные уравнения
§ 1. Обоснование (193).
§ 2. Векторно-матричные обозначения (194).
§ 3. Нормы векторов и матриц (196).
§ 4. Бесконечные ряды векторов и матриц (197).
§ 5. Существование и единственность решений линейной системы уравнений (197).
§ 6. Матричная экспонента (200).
§ 7. Функциональные уравнения - I (201).
§ 8. Функциональные уравнения - II (201).
§ 9. Функциональные уравнения - III (202).
§ 10. Невырожденность решения (202).
§ 11. Решение неоднородного уравнения. Постоянные коэффициенты (204).
§ 12. Неоднородное уравнение. Переменные коэффициенты (204).
§ 13. Неоднородное уравнение. Сопряженная система (205).
§ 14. Теория возмущений (206).
§ 15. Неотрицательность решения (207).
§ 16. Функциональное уравнение Пойа (208).
§ 17. Уравнение
§ 18. Уравнение АХ+ХВ=С (212).
Глава 11. Явные решения и канонические формы матриц
§ 1. Введение (219).
§ 2. Метод Эйлера (219).
§ 3. Построение решения (220).
§ 4. Невырожденность матрицы С (221).
§ 5. Другой метод (221).
§ 6. Определитель Вандермонда (222).
§ 7. Явная форма решения линейного дифференциального уравнения. Диагональные матрицы (223).
§ 8. Диагонализация матрицы (224).
§ 9. Связь между двумя подходами (225).
§ 10. Кратные характеристические числа (226).
§ 11. Каноническая форма Жордана (227).
§ 12. Кратные характеристические числа (другой метод) (228).
§ 13. Треугольная форма матрицы. Теорема Шура (231).
§ 14. Нормальные матрицы (233).
§ 15. Теорема об аппроксимации (235).
§ 16. Другая теорема об аппроксимации (236).
§ 17. Теорема Гамильтона - Кэли (237).
§ 18. Другое доказательство теоремы Гамильтона - Кэли (237).
§ 19. Линейные уравнения с периодическими коэффициентами (238).
§ 20. Представление невырожденной матрицы в виде экспоненты (239).
§ 21. Другое доказательство (241).
§ 22. Некоторые интересные преобразования (242).
§ 23. Биортогональность (243).
§ 24. Преобразование Лапласа (245).
§ 25. Пример (246).
§ 26. Обсуждение результата (247).
§ 27. Матричный случай (248).
Глава 12. Симметрические функции, кронекеровские произведения и циркулянты
§ 1. Введение (260).
§ 2. Степени собственных значений (260).
§ 3. Полиномы и характеристические уравнения (262).
§ 4. Симметрические функции (262).
§ 5. Кронекеровские произведения (264).
§ 6. Алгебра кронекеровских произведений (265).
§ 7. Кронекеровские степени - I (265).
§ 8. Кронекеровские степени - II (265).
§ 9. Кронекеровские степени - III (266).
§ 10. Кронекеровский логарифм (267).
§ 11. Кронекеровская сумма - I (267).
§ 12. Кронекеровская сумма -II (268).
§ 13. Уравнение АХ+ХВ=С (268).
§ 14. Другое доказательство (270).
§ 15. Циркулянты (272).
Глава 13. Теория устойчивости
§ 1. Введение (278).
§ 2. Необходимые и достаточные условия устойчивости (279).
§ 3. Устойчивые матрицы (280).
§ 4. Метод Ляпунова (280).
§ 5. Среднеквадратичное отклонение (282).
§ 6. Некоторые эффективные критерии устойчивости (282).
§ 7. Необходимое и достаточное условие устойчивости матриц (234).
§ 8. Дифференциальные уравнения и собственные значения (284).
§ 9. Эффективные условия устойчивости матриц (287).
Глава 14. Марковские матрицы и теория вероятностей
§ 1. Введение (292).
§ 2. Простой стохастический процесс (292).
§ 3. Марковские матрицы и вероятностные векторы (294).
§ 4. Аналитическое описание дискретных марковских процессов (295).
§ 5. Асимптотическое поведение (295).
§ 6. Первое доказательство (296).
§ 7. Второе доказательство независимости от начального состояния (298).
§ 8. Некоторые свойства положительных марковских матриц (298).
§ 9. Второе доказательство сходимости (300).
§ 10. Марковские матрицы общего вида (301).
§ 11. Непрерывный стохастический процесс (303).
§ 12. Доказательство вероятностных свойств (304).
§ 13. Обобщенные вероятности: унитарные преобразования (305).
§ 14. Обобщенные вероятности: матричные преобразования (306).
Глава 15. Случайные матрицы
§ 1. Введение (312).
§ 2. Предельное поведение физических систем (312).
§ 3. Средние значения (313).
§ 4. Средние значения квадратов (314).
Глава 16. Положительные матрицы, теорема Перрона и
математическая экономика
§ 1. Введение (317).
§ 2. Некоторые процессы простого роста (317).
§ 3. Обозначения и определения (318).
§ 4. Теорема Перрона (319).
§ 5. Доказательство теоремы 1 (319).
§ 6. Второе доказательство простоты Х(А) (321).
§ 7. Доказательство свойства минимальности Х(А) (322).
§ 8. Эквивалентное определение Х(А) (323).
§ 9. Предельная теорема (323).
§ 10. Стационарный рост (323).
§ 11. Непрерывные процессы роста (324).
§ 12. Аналог теоремы Перрона (325).
§ 13. Ядерный распад (325).
§ 14. Математическая экономика (326).
§ 15. Матрицы Минковского - Леонтьева (329).
§ 16. Положительность определителя (330).
§ 17. Усиление теоремы 6 (331).
§ 18. Линейное программирование (331).
§ 19. Теория игр (332).
§ 20. Марковские процессы принятия решений (334).
§ 21. Экономическая модель (334).
Приложение А. Линейные уравнения и ранг
§ 1. Введение (344).
§ 2. Определители (344).
§ 3. Свойство алгебраических дополнений (345).
§ 4. Правило Крамера (345).
§ 5. Однородные системы (345).
§ 6. Ранг (349).
§ 7. Ранг квадратичной формы (349).
§ 8. Закон инерции (Якоби - Сильвестра) (349).
§ 9. Сигнатура (350).
Приложение Б. Метод Эрмита
Приложение В. Моменты и квадратичные формы
§ 1. Введение (354).
§ 2. Обозначения (354).
§ 3. Метод Фишера (355).
§ 4. Моментное представление (356).
Краткая аннотация книги
Книга посвящена изложению теории матриц и ее приложениям к теории дифференциальных уравнений, математической экономике, теории вероятностей. Монография написана так, что ее может читать студент, не изучавший ранее линейную алгебру. В книге имеется более 600 задач; многие из них подводят читателя к самостоятельной научной деятельности в области теории матриц. Ценность книги увеличивают приводимые в конце каждой главы обзоры последних оригинальных работ в соответствующей области.
Книга рассчитана на студентов университетов и вузов, на инженеров, физиков, механиков, использующих матричный аппарат. Много привлекательного найдет в ней и математик, интересующийся собственно теорией матриц.
Предлагаемый читателю перевод книги известного американского математика Р. Беллмана "Введение в теорию матриц" вызовет безусловный интерес не только у физиков, механиков и инженеров, использующих матричный аппарат, но и у специалистов-математиков, интересующихся математическими аспектами теории.
В книге излагается собственно теория матриц и ее приложения к теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей, математической экономике, проблеме отыскания экстремума в случае большого числа переменных и другим вопросам.
Помимо основного текста, в котором,как правило,приводятся доказательства сравнительно несложных утверждений, автор в конце каждой главы помещает значительное число задач, углубляющих и развивающих затрагиваемые вопросы. Часть задач уводит читателя далеко за рамки основного текста.
Как отмечает автор книги, задачи не расположены в тексте в порядке возрастающей трудности. Мы сохранили тот же порядок задач, хотя это, на наш взгляд, и вызовет у читателя известные трудности.
Несмотря на то, что на русском языке имеется прекрасная монография Ф. Р. Гантмахера по теории матриц, перевод книги Р. Беллмана следует признать целесообразным. Уступая книге Ф. Р. Гантмахера в систематичности, стройности и последовательности изложения, книга Р. Беллмана отличается широким охватом новых проблем теории матриц и ее приложений.
Ценность книги повышают приводимые автором в конце каж* дой главы обзоры, в которых названы и прокомментированы оригинальные статьи и новые результаты в соответствующем направлении.
При переводе книги были устранены опечатки и прочие погрешности, которых в оригинале обнаружилось значительное количество. Некоторые доказательства, оказавшиеся неудачными, были заменены. При редактировании были сделаны примечания и составлен дополнительный список литературы. Число работ по теории матриц непрерывно растет. Мы указали лишь те из них, которые имеют непосредственное отношение к вопросам, обсуждаемым в книге.
Перевод этой книги на русский язык - для меня честь и большая радость. Различие в языках ставит преграды между народами, и переводы служат благородной цели осуществления свободного обмена, который иначе был бы невозможен. Они позволяют узнать все то прекрасное и доброе, что создано другими культурами.
Поскольку теория матриц - одна из самых изящных частей математического анализа, естественно, чтобы русские работы в этой области переводились на английский язык и наоборот. Я хотел бы надеяться, что эту книгу прочтут с тем же удовольствием, с которым я ее писал.
Еще одно замечание. Сейчас трудное время для всех, кто заинтересован в мире и процветании народов. Будем надеяться, что тот факт, что в США и в СССР так много поборников правды и красоты, послужит делу объединения наших народов и что дружба между нашими народами приведет к счастливой жизни, к которой все стремятся.
Ричард Беллман, Лос Анджелес, Калифорния Университет Южной Калифорнии
Цель настоящего тома - ввести читателя в круг идей и методов теории матриц, которую можно справедливо считать арифметикой высшей математики.
Постараемся оправдать наше решение отвести теории матриц столь важную роль. Рассматривая в целом любую из классических областей математики, нетрудно заметить, что наиболее интересные и важные ее разделы связаны с анализом взаимодействия различных факторов. Одним из примеров описания этого взаимодействия служат функции от нескольких переменных. Анализ таких функций приводит к преобразованиям многомерного типа.
Довольно быстро становится ясным, что само описание возникающих при этом задач сопряжено со значительными трудностями. Достаточно обратиться к работам, написанным сто лет назад, чтобы убедиться в том, как велика опасность в начале любого исследования потонуть в море арифметических и алгебраических деталей. И это помимо многочисленных понятий и аналитических трудностей.
Таким образом, решительные усилия должны быть направлены прежде всего на создание удобных, гибких и восприимчивых обозначений. Хотя какая-либо количественная оценка зависимости успеха исследования от хорошо придуманных обозначений вряд ли будет иметь смысл, нетрудно привести огромное число примеров, когда решения становились очевидными благодаря удачной формулировке задачи. Напротив, там, где используются неуклюжие и туманные обозначения, для решения потребуются неизмеримо большие усилия. Представьте себе, например, как сложно было бы производить арифметические и алгебраические операции с римскими цифрами.
Хорошо построенными обозначениями нужно стремиться выразить математическую суть задачи, и ни в коем случае не затемнять ее и не отвлекать от нее.
Сделав такое вступление, мы теперь выскажем очень простой силлогизм: матрицы являются наиболее важными преобразованиями - линейными преобразованиями; преобразования образуют сердцевину математики. В этом суть нашего первого утверждения.
Этот том, первый из планируемой к выпуску серии, посвященной результатам и методам современной теории матриц, должен познакомить читателя с основными понятиями теории матриц. Особое внимание в нем будет уделено анализу и приложениям к задачам математической физики, техники и математической экономики.
Теория матриц на том уровне, на котором мы собираемся ее здесь излагать, довольно четко распадается на три части: теория симметрических матриц, которая проникает во все области; матрицы и дифференциальные уравнения - раздел, представляющий интерес в первую очередь для инженера и физика; положительные матрицы, играющие особо важную роль в теории вероятностей и математической экономике.
Хотя мы не пытались связать изложение материала с какими-либо реальными прикладными задачами, мы всегда старались указать на происхождение основных проблем, рассматриваемых в книге.
Изложение начинается с задачи нахождения максимума или минимума функции нескольких переменных. Используя методы дифференциального исчисления, мы показываем, что определение локального максимума или минимума при обычных предположениях о существовании достаточного числа частных производных приводит к соответствующей задаче для функций, значительно более простых, а именно к квадратичным функциям. Таким образом, мы приходим к рассмотрению квадратичных форм, а следовательно, и симметрических матриц.
Сначала рассматривается случай функции двух переменных, где обычных обозначений вполне достаточно для описания всех интересующих нас результатов. Обратившись к случаю более высокого числа измерений, мы убедимся в необходимости новых обозначений. Тем не менее глубокое понимание двумерного случая очень важно, поскольку все важные черты многомерного случая содержатся уже здесь.
Оставив задачу многомерной максимизации, мы обращаемся к введению матричных обозначений. При этом на каждом этапе мы стараемся вводить только те новые символы и понятия, в которых возникает необходимость. Читателя, возможно, удивит, насколько далеко можно продвинуться в изучении теории симметрических матриц, не вводя понятия обратной матрицы.
Следуя этой идее, мы отказались от обычного подхода, при котором новое понятие обратной матрицы заливают потоком результатов, связанных с решением линейных систем уравнений. Никоим образом не желая умалить важность такого подхода, отметим все же, что, отказавшись от этого длинного и несколько утомительного пути, можно все же изложить целый ряд важных и интересных результатов. Понятие линейной независимости вводится в связи с процессом ортогонализации, где оно играет первостепенную роль. В приложении приводится доказательство основного результата, касающегося решений линейных систем, а также обсуждаются некоторые теоремы о ранге матрицы.
Это понятие, очень важное для многих разделов теории матриц, не имеет большого значения в тех разделах, которые мы здесь изучаем.
Очень часто во многих разделах математики от читателя требуют большого количества подготовительного материала, на первый взгляд не имеющего прямого отношения к основным результатам. Мы старались избегать такого положения. Основанием для введения нового понятия для нас служило возникновение конкретной задачи. Это в какой-то мере отражает действительное положение вещей, с которым сталкивается математик в своих исследованиях.
Хотя мы и старались сделать логичным наше изложение, это не было самоцелью. Логика в конце концов является одним из приемов, изобретенных человеческим умом для решения определенных задач. Но математика - это больше, чем логика, это - логика плюс процесс созидания. То, каким образом законы и понятия логики, составляющие орудие математики, используются для получения результатов, вряд ли является логическим процессом, во всяком случае, не более логическим, чем создание симфонии или картины.
Введя квадратные матрицы, центральный объект нашего исследования, мы займемся каноническим представлением действительных квадратичных форм или, что то же, действительных симметрических матриц. Здесь будет установлен очень важный результат теории симметрических матриц, состоящий в том, что всякая действительная симметрическая матрица в опреде--ленном смысле эквивалентна диагональной матрице.
Другими словами, многомерные преобразования этого типа можно рассматривать как совокупность одновременно выполняемых одномерных преобразований.
Результаты этих вступительных глав поучительны по ряду причин. Прежде всего они показывают, как существенно упрощаются доказательства, если предположить, что характеристик ческие числа матрицы простые. Во-вторых, на их примере можно убедиться, что трудности, возникающие из-за кратности характеристических чисел, могут быть преодолены при помощи двух мощных методов: индукции и предельного перехода по непрерывности.
Второй из этих методов требует очень осторожного обращения. Без преувеличения можно сказать, что те моменты доказательств, где мы пользуемся им, являются самыми трудными во всей книге. Именно поэтому мы не везде, где это возможно, пользовались этим приемом и часто лишь ограничивались указанием на его применимость. Читатели могут воспринимать это как вызов или, скорее, призыв провести доказательство этим методом во всех деталях.
Получив диагональное представление, мы приступим к выводу минимаксных свойств характеристических чисел, открытых Курантом и Фишером. Обобщение этих свойств на случай операторов с частными производными, проведенное Курантом, является одним из выдающихся достижений математики.
После этого вполне уместно заняться некоторыми дальнейшими свойствами матриц. В частности, мы изучим некоторые частные функции матриц. Вопрос об общем определении функции от матриц довольно сложен, и мы лишь слегка затронем его.
Далее, мы вернемся к нашей исходной задаче - исследованию области значений квадратичной формы. На этот раз, правда, мы усложним задачу введением линейных ограничений. Это усложнение не только интересно само по себе, но и дает нам прекрасный повод для введения прямоугольных матриц. На этой стадии разумно рассмотреть матрицы, элементы которых сами являются матрицами. Такое обобщение матричных обозначений часто оказывается чрезвычайно полезным.
После этого мы рассмотрим ряд очень интересных матричных неравенств, характеризующих собственные значения, а также различные функции собственных значений. Глава, посвященная неравенствам, является наиболее специальной из всех глав этой книги; она скорее отражает вкусы автора, нежели отвечает потребностям читателя.
В последней из глав, посвященных симметрическим матрицам, рассматривается метод функциональных уравнений динамического программирования. Ряд задач максимизации и минимизации квадратичных форм, а также решение линейных систем изучаются с помощью этого метода. Интересной чертой получаемых аналитических результатов является их явная зависимость от параметров, которые при решении обычно считают постоянными. Вместе с тем рекуррентные соотношения, которые лежат в основе метода динамического программирования, приводят к алгоритмам, нередко оказывающимся удобными с вычислительной точки зрения.
Вторая треть этого тома посвящена приложению теории матриц к решению линейных систем дифференциальных уравнений. У читателя не предполагается предварительного знакомства с дифференциальными уравнениями. Требующиеся теоремы существования и единственности для линейных систем будут доказаны в ходе изложения.
Важную роль в исследовании линейных систем с постоянными коэффициентами играет понятие матричного экспоненциала. Через эту функцию от матрицы выражается решение линейной системы. Случай переменных коэффициентов более сложен. Для того чтобы получить аналогичное выражение для решения в этом случае, нужно ввести понятие матрицанта. Однако рассмотрение этого понятия выходит за рамки этой книги. Заметим, что матрицант играет важную роль в современной квантовой механике.
Хотя экспоненциал и очень удобен для представления решения линейной системы с постоянными коэффициентами, он не дает выражений для отдельных компонент решения. Для этой цели мы пользуемся методом Эйлера нахождения частных решений экспоненциального вида. При этом мы опять приходим к задаче определения характеристических чисел и собственных векторов матрицы. Поскольку здесь матрица уже не является, вообще говоря, симметрической, эта задача много сложнее той, которой мы занимались в предыдущих главах. Хотя и здесь имеется несколько канонических форм, ни одна из них уже не является такой удобной, как диагональная форма, полученная в случае симметрических и эрмитовых матриц.
Представление решения в виде суммы экспонент, а также предельные случаи позволяют нам сформулировать необходимые и достаточные условия того, что все решения однородной системы стремятся к нулевому вектору при стремлении к бесконечности временного параметра. Так мы приходим к задаче устойчивости и формулируем несколько критериев устойчивости. В общем виде эта задача чрезвычайно сложна.
Получив ряд результатов для общего случая не обязательно симметрических матриц, мы обращаемся к задачам, представляющим более специфический интерес. Дана матрица Л. Как определить матрицу, собственные значения которой являются определенными функциями от собственных значений Л? Если мы разыскиваем эти функции как некоторые симметрические функции от собственных значений Л, то весьма естественным образом мы приходим к одной из важнейших концепций алгебры матриц к понятию кронекеровского произведения двух матриц. Как мы увидим в заключительной части книги, эта функция от двух матриц появляется также при изучении случайных матриц.
Заключительная часть этого тома посвящена изучению матриц, все элементы которых неотрицательны. Матрицы этого явно специального вида появляются двумя возможными путями: во-первых, при изучении марковских процессов и, во-вторых, при решении различных экономических задач.
Рассмотрение физических истоков этих матриц делает интуитивно ясным большое число важных и интересных предельных теорем, связанных с именами Маркова, Перрона и Фробениуса. Фундаментальную роль в теории положительных матриц играет, в частности, ряд преобразований, выполненных Виландом.
Небольшая глава посвящена теории случайных матриц. В этой области мы имеем дело скорее с мультипликативными и, следовательно, некоммутативными операциями, чем с аддитивными и коммутативными. Эти аспекты теории стохастических процессов почти не исследованы. Результаты, которые мы приводим, являются вводными и достаточно элементарными.
Наконец, в серии приложений изложены некоторые дополнительные сведения, которые либо имеют косвенное отношение к основным проблемам книги, либо представляют весьма специальный интерес. Результаты, полученные в теории симметрических матриц Селбергом, Эрмитом и Фишером, являются столь элегантными, что остается только сожалеть, что не было абсолютно никакой возможности включить их в книгу.
Несколько слов к читателю, впервые обращающемуся к этой пленительной области. Как указывалось выше, этот том написан как введение в теорию матриц. Хотя все главы являются вводными в этом смысле, однако, перефразируя слова Оруэла, можно сказать, что некоторые из них являются более вводными, чем другие.
Следовательно, не обязательно читать главы одну за другой. Начинающему настоятельно советуем прочесть главы 1-5 в качестве общего введения в теорию матричных операций и как зачатки теории симметрических матриц. После этого целесообразно перейти к общему изучению квадратных матриц, используя для этой цели гл. 10 и 11. Наконец, для понимания общих основ марковских и неотрицательных матриц могут быть изучены гл. 14 и 16 .Совместно с решением ряда упражнений этот материал составит содержание семестрового курса лекций.
Читатель, изучающий теорию матриц самостоятельно, может следовать своей собственной программе. Поднявшись на этот уровень, можно перейти к следующей важной области - минимаксным свойствам собственных значений матриц. В этой связи предлагается изучить кронекеровское произведение. Здесь кажется подходящей гл, 6. Оставшиеся главы могут читаться после этого в любой последовательности.
Несколько замечаний относительно упражнений. Поскольку цель математиков состоит в том, чтобы решать задачи, то очевидно, что невозможно оценить свой собственный прогресс, не пробуя свои силы на некоторых задачах. Что мы пытались сделать- это предусмотреть задачи разной степени сложности, начиная от чисто иллюстративных и кончая задачами достаточней степени трудности. Эти последние могут быть обычно опущены при беглом ознакомлении с книгой. Задачи, непосредственно следующие за каждым параграфом, являются, вообще говоря, обычными и включены для целей тренировки. Лишь небольшая часть из них - задачи повышенной трудности. Они содержат результаты, которые используются в последующем тексте. Поскольку соответствующие результаты могут быть установлены без больших усилий, мы считаем, что было бы лучше включить их в виде упражнений, нежели чрезмерно увеличивать основной текст, приводя все доказательства. Во всяком случае, при серьезном чтении тренировка необходима. Задачи в конце каждой главы обладают, напротив, обычно повышенной трудностью. Хотя имеется соблазн как-то выделить эти задачи (например, отметив их звездочкой), как обладающие повышенной трудностью, небольшое раздумье показывает, что педагогически это было бы очень плохо. Целью такой книги, как эта, является, кроме всего прочего, подготовить студента к самостоятельному решению задач в том виде, как они появляются в исследованиях в области анализа, математической физики, в технике, экономике и т. д. Очень редко встречается случай, когда задача, появившаяся таким образом, четко поставлена так, что ее можно считать отмеченной звездочкой. Более того, для студента важно сделать вывод, что сложность задачи практически никогда не оценивается ее формулировкой. Очень быстро можно убедиться, что некоторые весьма простые утверждения могут скрывать значительные трудности. Приняв во внимание эти соображения, мы перемешали задачи всех уровней трудности совершенно случайным образом, без указаний на сложность их решения. Отсюда следует, что, штурмуя эти задачи, читатель должен сделать все, что может, проявляя иногда упорство и, быть может, возвращаясь назад снова и снова по мере роста аналитического умения и зрелости.
Несколько замечаний относительно общего плана книги. Мы хотели не только изложить ряд основополагающих результатов, но и указать на разнообразие фундаментальных методов. Чтобы это сделать, мы в различных местах представляли разные доказательства теорем или указывали на другие возможные подходы в упражнениях. Существенно отдавать себе отчет в том, что, как и во всех частях математики, в теории матриц имеется много разных подходов. Важность владения многими методами вытекает из того факта, что для получения различных обобщений теории требуются различные подходы. На самом деле, некоторые результаты могут быть почти очевидными при использовании одного метода доказательства и в то же время быть трудно достижимыми или вообще недостижимыми, если избрать другой путь рассуждений. Хотя многие результаты теории матриц могут быть успешно и весьма элегантно выведены из общей теории операторов, важно также выделить особые методы и приемы, относящиеся к специальной области, имеющей дело с преобразованиями в конечномерных пространствах. Это и явилось причиной того, что мы попытались вытащить из забвения ряд простых и эффективных подходов, которые использовались в "старые добрые времена", пятьдесят - семьдесят пять лет назад.
Свойством человеческого мышления объясняется то, что повторение и перекрестные точки зрения являются мощным педагогическим приемом. В этой связи уместно привести слова из-"Охоты на Снарка" Льюиса Кэррола: "Я сказал это трижды: то, что я говорю три раза, - правда".
Перечислим теперь кратко некоторые из многих фундаментальных аспектов теории матриц, которые по необходимости не были включены в книгу.
Во-первых, мы исключили обсуждение всех вычислительных аспектов матричной теории. Вычислительные методы получили широкое развитие в последние годы, что стимулировалось необычайными возможностями современных цифровых машин и их планируемым развитием в будущем и, кроме того, необычайно возросшими потребностями физики и экономики.
Необходимость развития новых методов чисто вычислительной природы вытекает из того факта, что задача решения системы линейных уравнений с очень большим числом переменных или задача нахождения собственных значений и собственных векторов матриц большой размерности не может быть решена классическим способом. Любое подходящее решение этой задачи требует использования новых и тонких методов. В этой области проделана чрезвычайно большая работа, и мы подумали, что мудрым решением будет выделить отдельный том этой серии для изложения соответствующих результатов. Этот том будет написан Дж. Форсайтом.
Другим направлением является комбинаторная теория матриц, которая в последние годы растет как снежный ком. Математическая теория игр Бореля и фон Неймана, теория линейного программирования, математическая теория расписаний - все эти области объединяются, что, возможно, приведет к новому разделу теории матриц. На этом пути не только появляются новые и значительные алгебраические и аналитические проблемы, но и как результат этих методов и концепций оказывается определенное давление на способы получения вычислительных процедур. Том, касающийся этой области, будет написан А. Хофманом.
Топологические аспекты входят классически в теорию матриц при изучении электрических цепей. Здесь мы встречаемся с прекрасным сочетанием аналитической, алгебраической и геометрической теорий. Том, посвященный этой важной области, должен быть написан Л. Вейнбергом.
В предшествующем перечислении мы, естественно, едва лишь затронули область, называемую теорией матриц. На отдаленном горизонте мы видим монографию, посвященную курсу теории матриц повышенного типа. Среди других результатов она должна содержать различные аспекты теории функций от матриц, теории Левнара, зигелевской теории модулярных функций от матриц и теории матриц Вигнера. В более общей теории функционалов от матриц теория Бекера, Кемпбелла и Хаус-дорфа приводит к изучению мультипликативных интегралов. Эти аспекты теории взяли на себя главную роль во многих областях современной математической физики.
Другая обширная часть матричного анализа развита в связи с изучением многомерного анализа в математической статистике. Снова мы чувствуем, что результаты в этой области могут быть наилучшим образом изложены совместно с основными концепциями статистики.
На общей базе анализа и алгебры мы встречаем теорию представления групп со многими ее прекрасными приложениями к алгебре, анализу и математической физике. Эта область также требует отдельного тома.
В чисто алгебраической области имеется теория идеалов, рассматриваемая с помощью матриц, введенных Пуанкаре. Мы не упоминали об этом, поскольку использование таких матриц требует введения чисто формальных концепций. Однако в упражнениях постоянно встречаются упоминания о связи между комплексными числами, кватернионами и матрицами наряду с намеками на более общие взаимосвязи.
Изучение матриц с целочисленными элементами тесно связано с числовой теорией матриц. Несмотря на привлекательность этой области, мы чувствовали, что было бы лучше детально обсудить эти вопросы в отдельном томе.
Важно отметить, что даже приведенный выше перечень не отражает той большой роли, которую играют матрицы в современной математике и ее приложениях.
В конец каждой главы и иногда в упражнения мы включили большое количество ссылок на оригинальные статьи, монографии и различные книги по теории матриц. Читатель, интересующийся деталями, может основательно с ними познакомиться, воспользовавшись этими ссылками. Мы ни в коем случае не претендуем на исчерпывающую библиографию. Многие из значительных работ не были упомянуты.
В заключение мне хотелось бы выразить сердечную благодарность моим друзьям, скрупулезно просмотревшим несколько набросков рукописи. Благодаря их замечаниям и критике были сделаны существенные улучшения в содержании, стиле изложения и форме многих интересных упражнений.
Благодарю Поля Брока, Фан Цзы и Ольгу Таусски.
Искренне благодарю также А. Маданского и И. Олькина, прочитавших некоторые главы и сделавших замечания по улучшению некоторых интересных задач.
Я особенно рад выразить благодарность RAND Corporation за ее политику в области исследований, которая привела к существенной поддержке моей работы по теории матриц. Это только один из аспектов свободы действий, предоставляемых RAND Corporation с тем, чтобы одновременно развивать научные исследования и служить интересу нации.
Наконец, благодарю моего секретаря Жанетт Гиберт, которая безропотно печатала сотни страниц уравнений, без всяких жалоб делала правку за правкой и преданно помогала мне в вычитке текста.
Ричард Беллман
Примечание. Сохраняйте книги на мобильный телефон и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.