Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
К. Айерленд, М. Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел
• Бесплатно скачать книгу, объем 3.19 Мб, формат .djvu (Москва, 1987)
Глава 1. Однозначное разложение на множители
§ 1. Однозначное разложение на множители в Z
§ 2. Однозначное разложение на множители в к[х]
§ 3. Однозначное разложение на множители в областях
главных идеалов
§ 4. Кольца
Глава 2. Применения однозначного разложения
на множители
§ 1. В Z бесконечно много простых чисел
§ 2. Некоторые арифметические функции
§ 3. Ряд расходится
§ 4. Рост функции
Глава 3. Сравнения
§ 1. Элементарные наблюдения
§ 2. Сравнения в
§ 3. Сравнение
§ 4. Китайская теорема об остатках
Глава 4. Структура группы
§ 1. Примитивные корни и структура группы
§ 2. n-степенные вычеты
Глава 5. Квадратичный закон взаимности
§ 1. Квадратичные вычеты
§ 2. Квадратичный закон взаимности
§ 3. Доказательство квадратичного закона взаимности
Глава 6. Квадратичные суммы Гаусса
§ 1. Алгебраические числа и целые алгебраические числа
§ 2. Квадратичный характер числа 2
§ 3. Квадратичные суммы Гаусса
§ 4. Знак квадратичной суммы Гаусса
Глава 7. Конечные поля
§ 1. Основные свойства конечных полей
§ 2. Существование конечных полей
§ 3. Приложение к квадратичным вычетам
Глава 8. Суммы Гаусса и Якоби
§ 1. Мультипликативные характеры
§ 2. Суммы Гаусса
§ 3. Суммы Якоби
§ 4. Уравнение
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах Якоби
§ 6. Применения
§ 7. Общая теорема
Глава 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности
§ 1. Кольцо
§ 2. Кольца классов вычетов
§ 3. Характер кубического вычета
§ 4. Доказательство кубического закона взаимности
§ 5. Другое доказательство кубического закона взаимности
§ 6. Характер кубического вычета числа 2
§ 7. Биквадратичный закон взаимности: предварительные сведения
§ 8. Символ вычета степени 4
§ 9. Биквадратичный закон взаимности
§ 10. Рациональный биквадратичный закон взаимности
§ 11. Построение правильных многоугольников
§ 12. Кубические суммы Гаусса и проблема Куммера
Глава 10. Уравнения над конечными полями
§ 1. Аффинное пространство, проективное пространство и многочлены
§ 2. Теорема Шевалле
§ 3. Суммы Гаусса и Якоби над конечными полями
Глава 11. Дзета-функция
§ 1. Дзета-функция проективной гиперповерхности
§ 2. След и норма в конечных полях
§ 3. Рациональность дзета-функции гиперповерхности
§ 4. Доказательство соотношения Хассе-Дэвенпорта
§ 5. Последняя запись
Глава 12. Теория алгебраических чисел
§ 1. Алгебраические подготовительные результаты
§ 2. Однозначность разложения на множители в полях алгебраических чисел
§ 3. Ветвление и степень
Глава 13. Квадратичные и круговые поля
§ 1. Квадратичные числовые поля
§ 2. Круговые поля
§ 3. Снова квадратичный закон взаимности
Глава 14. Соотношение Штикельбергера и закон взаимности Эйзенштейна
§ 1. Норма идеала
§ 2. Символ степенного вычета
§ 3. Соотношение Штикельбергера
§ 4. Доказательство соотношения Штикельбергера
§ 5. Доказательство закона взаимности Эйзенштейна
§ 6. Три приложения
Глава 15. Числа Бернулли
§ 1. Числа Бернулли; определения и приложения
§ 2. Сравнения для чисел Бернулли
§ 3. Теорема Хербранда
Глава 16. L-функции Дирихле
§ 1. Дзета-функция
§ 2. Частный случай
§ 3. Характеры Дирихле
§ 4. L-функции Дирихле
§ 5. Ключевой шаг
§ 6. Значения L(s,х) в отрицательных целых числах
Глава 17. Диофантовы уравнения
§ 1. Общие сведения и первые примеры
§ 2. Метод спуска
§ 3. Теорема Лежандра
§ 4. Теорема Софи Жермен
§ 5. Уравнение Пелля
§ 6. Сумма двух квадратов
§ 7. Сумма четырех квадратов
§ 8. Уравнение Ферма: экспонента 3
§ 9. Кубические кривые с бесконечным числом рациональных точек
§ 10. Уравнение у2 = х3 + к
§ 11. Первый случай гипотезы Ферма для регулярных показателей
§ 12. Диофантовы уравнения и диофантово приближение
Глава 18. Эллиптические кривые
§ 1. Общие замечания
§ 2. Локальная и глобальная дзета-функции эллиптической кривой
§ 3. у2 - х3 + D, локальный случай
§ 4. у2 = х3 - Dx, локальный случай
§ 5. L-функции Гекке
§ 6. у2 = х3 - Dx, глобальный случай
§ 7. у2 = х3 + D, глобальный случай
§ 8. Заключительные замечания
Краткая аннотация книги
Учебное пособие по теории чисел, написанное известными математиками из Канады и США. От читателя не требуется предварительных знаний. Авторы начинают с простейших понятий и примеров и доводят изложение до современных проблем и результатов теории чисел. В книге приведено много задач различной трудности вместе с указаниями для их решения. Для математиков разной квалификации в качестве введения в предмет, для преподавателей и студентов вузов.
Теория алгебраических чисел возникла во второй половине XIX в. из целого ряда не связанных друг с другом задач теории чисел. Первое место среди них занимали задачи о диофантовых уравнениях, таких, как уравнение Ферма или вопросы о представимости чисел квадратичными формами. Другой не менее важный круг идей, стимулировавший развитие алгебраической теории чисел - теория делимости и законы разложения простых чисел в кольцах целых алгебраических чисел. Впрочем, отделить друг от друга конкретные факты, идеи и конструкции, приведшие к созданию теории алгебраических чисел, вряд ли возможно. Классический период теории завершается созданием теории полей классов, описывающей абелевы расширения полей алгебраических чисел и законы разложения в них.
Существует много учебных изложений теории алгебраических чисел. Предлагаемая вниманию читателя книга отличается элементарностью и насыщенностью конкретными фактами и примерами. Ряд вопросов, например, кубический и биквадратичный законы взаимности излагаются в учебной литературе с такой степенью подробности, пожалуй, впервые. Помимо основ теории авторы включили в книгу ряд глав, излагающих более современные достижения, связанные с применением методов алгебраической геометрии к диофантовым уравнениям. Сюда относятся определение дзета-функций алгебраических многообразий, гипотеза Римана - Вейля для многообразий над конечными полями, связь группы рациональных точек на эллиптической кривой с ее дзета-функцией. Подробно разобранные частные случаи являются хорошим введением в общую теорию, с которой читатель может познакомиться по сочинениям более общего характера (см. библиографические указания в конце глав).
Последние годы принесли теории чисел заметное оживление: доказана гипотеза Морделла о рациональных точках на кривых рода больше 1, первый случай теоремы Ферма решен для бесконечного числа простых показателей, найдены первые примеры эллиптических кривых с конечной группой Шафаревича. Можно не сомневаться, что книга Айерлэнда и Роузена будет ценным подспорьем для начинающих математиков, же лающих принять участие в дальнейшем развитии теории чисел.
Эта книга является пересмотренным и сильно расширенным вариантом нашей книги "Элементы теории чисел", опубликованной в 1972 году. Как и в первой книге, основная аудитория, к которой мы обращаемся, состоит из студентов-математиков старших курсов и аспирантов. Мы предполагаем некоторое знакомство с материалом стандартного курса по абстрактной алгебре. Большую часть гл. 1-11 можно читать даже без такой предварительной подготовки, используя небольшое количество дополнительного материала. Последующие главы предполагают некоторое знание теории Галуа, а для гл. 16 и 18 необходимо знакомство с теорией функций комплексной переменной.
Теория чисел - древний предмет, и содержание его обширно. Для всякой вводной книги следует в силу необходимости произвести очень строгий отбор возможных тем из их громадного многообразия. Мы сосредотачиваемся на темах, связанных с теорией алгебраических чисел и арифметической алгебраической геометрией. Тщательный отбор материала дает нам возможность изложить некоторые довольно сложные вопросы без больших технических приготовлений. Значительная часть этого материала является классической в том смысле, что она была открыта в XIX веке и ранее, но этот материал и современен, так как тесно связан с важными исследованиями, продолжающимися вплоть до настоящего времени.
В гл. 1-5 мы обсуждаем простые числа, однозначное разложение на простые множители, арифметические функции, сравнения и квадратичный закон взаимности. Предварительных знаний здесь требуется очень мало. Удивительно, однако, как малая толика теории групп и колец прирносят в излагаемый материал неожиданный порядок. Например, многие разрозненные результаты оказываются частями ответа на естественный вопрос: какова структура группы единиц в кольце Z/nZ. Законы взаимности составляют основную тему последующих глав. Квадратичный закон взаимности, красивый сам по себе, является первым в серии, завершающейся законом взаимности Артина - одним из основных достижений теории алгебраических чисел. Выбранный нами путь изложения после биквадратичного закона взаимности проходит через формулировки и доказательства кубического и биквадратичного законов взаимности. В качестве подготовки к этим вопросам развивается техника теории алгебраических чисел: алгебраические числа и алгебраические целые числа, конечные поля, разложение простых чисел и т. д. Другим важным инструментом в этом исследовании (и в других тоже!) является теория сумм Гаусса и Якоби. Этот материал изложен в гл. 6-9.
Вторая главная тема - диофантовы уравнения, сначала над конечными полями, а затем над полем рациональных чисел. Обсуждение полиномиальных уравнений начинается в гл. 8 и 10 и достигает кульминации в гл. 11 при изложении части статьи "Число решений уравнений над конечными полями" А. Вейля. Опубликованная в 1948 году, эта статья оказала очень сильное влияние на современное развитие как алгебраической геометрии, так и теории чисел. В гл. 17 и 18 мы рассматриваем диофантовы уравнения над полем рациональных чисел. В гл. 17 излагаются многие стандартные темы, начиная с сумм квадратов и кончая последней теоремой Ферма. Однако, используя предыдущий материал, мы можем трактовать некоторые из этих вопросов с новой точки зрения. Глава 18 посвящена арифметике эллиптических кривых. Она отличается от остальных глав тем, что это в основном обзор, содержащий много определений и утверждений, но мало доказательств. Тем не менее, концентрируя внимание на некоторых важных частных случаях, мы надеемся приобщить читателей к красоте достигнутого в этой области, где проделана большая работа, но осталось много тайн.
Третья (и последняя) из главных тем - дзета-функции. В гл. 11 мы обсуждаем конгруэнц-дзета-функции, связанные с многообразиями над конечными полями. В гл. 16 рассматриваются дзета-функции Римана и L-функции Дирихле. В гл. 18 излагаются результаты о дзета-функциях алгебраических кривых над полем рациональных чисел и L-функциях Гекке. Дзета-функции сводят обширную арифметическую информацию к одной функции и дают возможность применить мощные методы анализа к теории чисел. На протяжении всей книги мы уделяем большое внимание истории излагаемых вопросов. В замечаниях в конце каждой главы мы приводим краткие исторические справки и ссылки на литературу. Обширная библиография затрагивает многие области, как классические, так и современные. Мы хотим снабдить читателя обильным материалом для дальнейшего изучения.
Примечание. Сохраняйте книги на мобильный телефон и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.