ISBN 966-7343-29-5 К.305

УДК 531.0
ББК 22.311
  К.305

Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
   Н.Я. Виленкин, Специальные функции и теория представлений групп

   Вы можете  найти на этой странице (программа отметит желтым цветом)
   Вы можете посмотреть  список книг по высшей математике с сортировкой по алфавиту.
   Вы можете посмотреть  список книг по высшей физике с сортировкой по алфавиту.

   Бесплатно скачать книгу, объем 4.38 Мб, формат .djvu

   Уважаемые дамы и господа !! Для того, чтобы без "глюков" скачать файлы электронных публикаций, нажмите на подчеркнутую ссылку с файлом ПРАВОЙ кнопкой мыши, выберите команду "Save target as ..." ("Сохранить объект как ...") и сохраните файл электронной публикации на локальный компьютер. Электронные публикации обычно представлены в форматах Adobe PDF и DJVU.

ГЛАВА I ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП

§ 1. Основные понятия теории представлений
   1. Определение
   2. Матричная запись представлений
   3. Эквивалентные представления
   4. Сопряженные представления
   5. Эрмитово-сопряженные представления. Унитарные представления
   6. Инвариантные подпространства. Неприводимые представления
   7. Разложение представления в прямую сумму
   8. Полная приводимость унитарных представлений
   9. Кронекеровское умножение представлений
   10. Характеры представлений
   11. Инфинитезимальные операторы представления

§ 2. Группы преобразований и их представления
   1. Группы преобразований
   2. Транзитивные группы преобразований
   3. Инвариантные меры
   4. Представления групп операторами сдвига
   5. Представления класса 1. Сферические функции
   6. Индуцированные представления
   7. Представления групп с операторным множителем
   8. Некоторые примеры

§ 3. Инвариантные операторы и теория представлений
   9. Операторы, перестановочные с представлениями
   10. Лемма Шура
   11. Следствия из леммы Шура
   12. Инвариантные операторы

§ 4. Представления компактных групп
   1. Матричные группы. Компактные и локально компактные группы
   2. Полная приводимость представлений компактных групп
   3. Ряды Фурье на компактных группах
   4. Гармонический анализ функций на компактных группах
   5. Разложение функций на однородных пространствах
   6. Свертка функций на группе
   7. Разложение центральных функций Дополнение к главе I. Некоторые сведения о линейных пространствах
   1. Кронекеровское или тензорное произведение линейных пространств и операторов
   2. Операторы типа Гильберта - Шмидта
   3. Тензорное произведение гильбертовых пространств
   4. Счетно-гильбертовы пространства. Ядерные пространства
   5. Ортогональная прямая сумма гильбертовых пространств
   6. Непрерывная прямая сумма гильбертовых пространств
   7. Разложение операторов в непрерывную прямую сумму операторов

ГЛАВА II АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ

§ 1. Показательная и тригонометрические функции
   1. Неприводимые унитарные представления группы R
   2. Группа вращений плоскости и тригонометрические функции
   3. Группа гиперболических вращений плоскости и гиперболические функции
   4. Комплексная форма группы SO(2)

§ 2. Ряды Фурье
   1. Инвариантное интегрирование на группе SO(2)
   2. Тригонометрическая система функций. Ряды Фурье
   3. Разложение регулярного представления группы SO(2)
   4. Разложение бесконечно дифференцируемых функций

§ 3. Интеграл Фурье
   1. Регулярное представление группы R
   2. Преобразование Фурье и его свойства
   3. Формула обращения
   4. Формула Планшереля
   5. Преобразование функций с интегрируемым квадратом
   6. Интеграл Фурье для функций нескольких переменных
   7. Определение
   8. Преобразование функций с интегрируемым квадратом
   9. Преобразование Меллина

ГЛАВА III ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА И МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ

§ 1. Группа SU(2)
   1. Параметризация
   2. Углы Эйлера произведения двух матриц
   3. Алгебра Ли
   4. Комплексификация
   5. Связь с группой вращений
   6. Углы Эйлера вращений
   7. Сфера, как однородное пространство

§ 2. Неприводимые унитарные представления
   1. Представления в пространствах однородных многочленов
   2. Инфинитезимальные операторы представления
   3. Неприводимость
   4. Инвариантное скалярное произведение
   5. Полнота системы представлений

§ 3. Матричные элементы представлений. Многочлены Лежандра и Якоби
   1. Вычисление матричных элементов
   2. Различные выражения матричных элементов
   3. Выражение через углы Эйлера
   4. Различные выражения функций
   5. Частные значения
   6. Соотношения симметрии
   7. Матрицы
   8. Соотношения обхода
   9. Связь с классическими ортогональными многочленами
   10. Многочлены Лежандра как зональные сферические функции

§ 4. Функциональные соотношения для функций
   1 Теорема сложения
   2. Теорема сложения для многочленов Лежандра
   3. Формула умножения
   4. Рекуррентные формулы
   5. Дифференциальное уравнение
   6. Инфинитезимальные операторы регулярного представления
   7. Инфинитезимальные операторы и рекуррентные формулы
   8. Оператор Лапласа
   9. Дальнейшие рекуррентные соотношения

§ 5. Производящие функции для
   1. Случай фиксированных
   2. Рекуррентные формулы при различных значениях
   3. Случай фиксированных тип
   4. Интегральные представления Дирихле - Мерфи
   5. Рекуррентные формулы для многочленов Лежандра

§ 6. Разложение функций на группе
   1. Инвариантная мера
   2. Соотношения ортогональности для функций
   3. Разложения в ряды по функциям
   4. Некоторые подпространства функций
   5. Разложение функций на сфере
   6. Разложение полей величин на сфере

§ 7. Характеры представлений
   1. Вычисление характеров
   2. Ортогональность характеров
   3. Разложение центральных функций

§ 8. Коэффициенты Клебша - Гордана
   1. Кронекеровское произведение представлений
   2. Базисы в пространстве
   3. Вычисление коэффициентов Клебша - Гордана
   4. Соотношения симетрни
   5. Некоторые частные значения
   6. Разложение произведений функций
   7. Связь с многочленами Якоби
   8. Рекуррентные формулы
   9. Производящая функция

ГЛАВА IV ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

§ 1.ГруппаМ(2)
   1. Определение
   2. Параметризации
   3. Алгебра Ли
   4. Комплексификация

§ 2. Неприводимые унитарные представления группы
   1. Описание представлений
   2. Инфинитезимальные операторы
   3. Неприводимость представлений
   4. Представления скрещенных произведений

§ 3. Матричные элементы представлений и функции Бесселя
   1. Вычисление матричных элементов
   2. Связь функций Бесселя с противоположными индексами
   3. Разложение функций Бесселя в степенные ряды

§ 4. Функциональные соотношения для функций Бесселя
   1. Теорема сложения
   2. Формула умножения
   3. Рекуррентные формулы
   4. Дифференциальное уравнение
   5. Производящая функция
   6. Рекуррентные соотношения

§ 5. Разложения представлений группы М(2) и преобразование Фурье - Бесселя
   1. Квазирегулярное представление
   2. Преобразование Фурье - Бесселя
   3. Разложение квазирегулярного представления
   4. Инфинитезимальные операторы
   5. Разложение регулярного представления

§ 6. Произведение представлений
   1. Кронекеровское произведение представлений TR(g)
   2. Кронекеровское произведение и формула умножения

§ 7. Функции Бесселя и функции
   1. Группа движений плоскости и группа вращений сферы
   2. Функции Бесселя и многочлены Якоби
   3. Асимптотическая формула для коэффициентов Клебша-Гордана

ГЛАВА V ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ И ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА

§ 1. Представления группы линейных преобразований прямой линии и Г-функция
   1. Группа линейных преобразований прямой линии
   2. Неприводимые представления группы G
   3. Приведение операторов к диагональному виду
   4. Выражение ядра через Г-функцию
   5. Свойства Г-функции
   6. Теорема сложения для Г-функции и ее следствия
   7. Бета-функция и формула удвоения для Т(х)
   8. Преобразование Фурье функций
   9. Представления группы линейных преобразований прямой, индуцированные одномерными представлениями подгруппы

§ 2. Группа движений псевдоевклидовой плоскости
   1. Псевдоевклидова плоскость
   2. Группа
   3. Параметризации группы
   4. Алгебра Ли группы

§ 3. Представления группы
   1. Неприводимые представления
   2. Другая реализация представлений TR(g) группы
   3. Унитарный случай
   4. Функции Макдональда и Ганкеля
   5. Выражение ядер представления через функцию Макдональда
   6. Инфинитезимальные операторы представлений
   7. Неприводимость представлений TR(g)

§ 4. Рекуррентные формулы и дифференциальное уравнение для функций Макдональда и Ганкеля
   1. Соотношения между нифинитезимальными операторами и операторами представления
   2. Рекуррентные формулы
   3. Дифференциальные уравнения для функций Макдональда и Ганкеля
   4. Связь между функциями Ганкеля и функциями Бесселя

§ 5. Функциональные соотношения для функций Ганкеля и Макдональда
   1. Вводные замечания
   2. Интегральное представление
   3. Разложение в степенные ряды
   4. Преобразования Меллина
   5. Преобразования Меллина (продолжение)
   6. Теоремы сложения
   7. Теоремы умножения
   8. Взаимно обратные интегральные преобразования

§ 6. Разложение квазирегулярного представления группы
   1. Квазирегулярное представление группы
   2. Интегральные преобразования

ГЛАВА VI ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ КВАЗИУНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ

§ 1. Группа
   1. Описание
   2. Подгруппы группы
   3. Параметризации группы
   4. Инвариантное интегрирование
   5. Алгебра Ли

§ 2. Неприводимые представления группы
   1. Пространство
   2. Представления
   3. Инфинитезимальные операторы
   4. Неприводимость
   5. Целочисленные представления
   6. Условия эквивалентности
   7. Условия унитарности
   8. Унитарно-сопряженные представления

§ 3. Матричные элементы представлений
   1. Вычисление матричных элементов
   2. Выражение через углы Эйлера
   3. Различные выражения функций
   4. Зональные сферические функции представлений и функции Лежандра
   5. Присоединенные функции Лежандра
   6. Соотношения симметрии для функции
   7. Функции в целочисленном случае

§ 4. Функциональные соотношения для
   1. Теорема сложения
   2. Целочисленный случай
   3. Теоремы сложения для функций Лежандра
   4. Формула умножения
   5. Рекуррентные формулы
   6. Производящая функция
   7. Континуальная производящая Функция

§ 5. Разложение регулярного представления группы
   1. Регулярное представление группы
   2. Рекуррентные соотношения и нифинитезимальные операторы
   3. Разложение функций на группе
   4. Разложение регулярного представления группы на неприводимые
   5. Разложение индуцированных представлений группы
   6. Соотношения ортогональности для функций

ГЛАВА VII ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

§ 1. Гипергеометрическая функция
   1. Определение
   2. Некоторые соотношения
   3. Некоторые интегралы, выражающиеся через гипергеометрическую функцию
   4. Выражение функций и многочленов Якоби через гипергеометрическую функцию

§ 2. Группа вещественных унимодулярных матриц второго порядка
   1. Вводные замечания
   2. Параметризация
   3. Алгебра Ли

§ 3. Неприводимые представления группы
   1. Описание
   2. Другая реализация представлений
   3. Операторы второй реализации представлений
   4. Инфинитезимальные операторы

§ 4. Вычисление ядер представления
   1. Вычисление
   2. Случай треугольных матриц
   3. Общий случай
   4. Некоторые интегральные преобразования, связанные с гипергеометрической функцией

§ 5. Рекуррентные формулы для гипергеометрической функции. Гипергеометрическое уравнение
   1. Соотношения между нифинитезимальными операторами и операторами представления
   2. Рекуррентные формулы
   3. Гипергеометрическое уравнение

§ 6. Интегральные представления и формула сложения для гипергеометрической функции
   1. Вводные замечания
   2. Интегральные представления
   3. Преобразование Меллина
   4. Теоремы сложения

§ 7. Представления группы вещественных матриц второго порядка и функции Ганкеля
   1. Новая реализация представлений
   2. Вычисление ядра оператора

ГЛАВА VIII ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА И ФУНКЦИИ УИТТЕКЕРА

§ 1. Функции Уиттекера и вырожденная гипергеометрическая функция
   1. Определение
   2. Вырожденная гипергеометрическая функция

§ 2. Группа треугольных матриц третьего порядка и ее представления
   1. Алгебра Ли
   2. Разложение по однопараметрическим подгруппам
   3. Неприводимые представления группы
   4. Другая реализация представлений
   5. Инфинитезимальные операторы представлений
   6. Вычисление ядер представлений

§ 3. Функциональные соотношения для функций Уиттекера
   1. Соотношения между нифинитезимальными операторами и операторами представления
   2. Рекуррентные соотношения
   3. Дифференциальное уравнение Уиттекера
   4. Соотношения симметрии для функций Уиттекера

§ 4. Интегралы, связанные с функциями Уиттекера
   1. Представление Меллина - Бернса
   2. Преобразование Меллина по параметрам
   3. Континуальные теоремы сложения
   4. Двойственные формулы
   5. Вырожденные случаи теорем сложения

§ 5. Многочлены Лагерра и представления группы комплексных треугольных матриц третьего порядка
   1. Определение многочленов Лагерра
   2. Группа комплексных треугольных матриц третьего порядка и многочлены Лагерра

ГЛАВА IX ГРУППА ВРАЩЕНИЙ n-МЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ ГЕГЕНБАУЭРА

§ 1. Группа
   1. Сферические координаты
   2. Описание группы
   3. Углы Эйлера
   4. Инвариантное интегрирование

§ 2. Представления класса 1 группы и гармонические многочлены
   1. Квазирегулярное представление
   2. Представления в пространствах однородных многочленов
   3. Гармонические многочлены
   4. Инвариантность подпространства
   5. Гармоническая проекция многочлена. Представление в пространстве гармонических многочленов
   6. Каноническое разложение однородных многочленов
   7. Разложение квазирегулярного представления
   8. Разложение сужения представления на подгруппу
   9. Инфинитезимальные операторы представления
   10. Неприводимость представлени
   11. Полнота системы представлени

§ 3. Зональные сферические функции представлений Pи многочлены Гегенбауэра
   1. Описание зональных сферических функций.
   2. Дифференциальное уравнение и рекуррентные соотношения для многочленов Гегенбауэра
   3. Частные случаи и частные значения многочленов Гегенбауэра
   4. Соотношения ортогональности для многочленов Гегенбауэра
   5. Разложение пространства гармонических многочленов
   6. Построение канонического базиса
   7. Разложение функций на n-мерной сфере

§ 4. Матричные элементы нулевого столбца
   1. Элементы "нулевого столбца" канонической матрицы
   2. Теорема сложения для многочленов Гегенбауэра
   3. Формула умножения для многочленов Гегенбауэра
   4. Реализация представлений в пространстве функций от n - 1 переменного
   5. Разложение пространства
   6. Инвариантное скалярное произведение в пространстве
   7. Интегральное представление многочленов Гегенбауэра
   8. Связь между многочленами Гегенбауэра и присоединенными функциями Лежандра
   9. Некоторые разложения по многочленам Гегенбауэра
   10. Другие интегральные представления многочленов Гегенбауэра
   11. Некоторые интегралы, содержащие многочлены Гегенбауэра
   12. Производящая функция для многочленов Гегенбауэра

§ 5. Сферические функции и оператор Лапласа. Полисферические функции
   1. Оператор Лапласа на сфере
   2. Полнсферические координаты
   3. Дифференциал длины дуги и оператор Лапласа в полнсферических координатах
   4. Собственные функции оператора Лапласа в полнсферических координатах

ГЛАВА X ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ n-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА

§ 1. Псевдоевклидово пространство и гиперболические вращения.
   1. Псевдоевклидово пространство.
   2. Группа
   3. Пространство Лобачевского
   4. Углы Эйлера в группе

§ 2. Представления класса 1 группы
   1. Описание представлений 7
   2. Сопряженные представления
   3. Неприводимость представлений нецелых а
   4. Приводимость представления целых значениях а
   5. Условия унитарности представления
   6. Эквивалентность представлений

§ 3. Зональные и присоединенные сферические функции представлений класса 1 группы
   1. Построение базиса в пространстве
   2. Интегральное представление зональных и присоединенных; сферических функций
   3. Выражение зональной функции через гипергеометрическую функцию
   4. Вычисление присоединенных сферических функций
   5. Теорема сложения для функций Лежандра
   6. Теорема умножения для функций Лежандра
   7. Производящая функция для присоединенных функций Лежандра

§ 4. Разложения представлений группы и преобразование Фока - Мелера
   1. Вводные замечания
   2. Инвариантное интегрирование в пространстве Лобачевского и на орисферах
   3. Интегральное преобразование Гельфанда-Граева
   4. Квазирегулярное представление группы
   5. Интегральные преобразования функций на гиперболоиде

§ 5. Оператор Лапласа на гиперболоиде. Полисферические и орисферические функции на гиперболоиде
   1. Оператор Лапласа на гиперболоиде
   2. Полисферические координаты на гиперболоиде [х, х] = 1.
   3. Орисферические координаты на гиперболоиде
   4. Разделение переменных в орисферических координатах

ГЛАВА XI ГРУППА ДВИЖЕНИЯ n-МЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

§ 1. Группа

§ 2. Непрнаодимые представления класса 1 группы
   1. Описание представлений
   2. Неприводимость представлений

§ 3. Зональные и присоединенные сферические функции представлений класса 1 группы
   1. Базис в пространстве
   2. Вычисление зональных сферических функций
   3. Присоединенные сферические функции
   4. Теорема сложения для функций Бесселя
   5. Теорема умножения для функций Бесселя
   6. Производящая функция для функций Бесселя
   7. Некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя

§ 4. Предельный переход по размерности пространства. Многочлены Эрмита
   1. Многочлены Эрмита, как предел многочленов Гегенбауэра
   2. Некоторые свойства многочленов Эрмита
   3. Соотношения ортогональности для многочленов Эрмита
   4. Преобразование Фурье функций
   5. Предельный переход по размерности для группы

Краткая аннотация книги

   Решение очень многих важных задач математической физики и техники не может быть выражено с помощью обычных, элементарных функций, и тогда приходят на помощь специальные функции (функции Лежандра, функции Бесселя, гипергеометрическая функция и т. д.). Теория специальных функций очень детально разработана и включает в себя необозримое множество формул и соотношений, выводимых самыми разнообразными методами, что затрудняет ее изучение.

   Целью данной книги является изложение теории специальных функций с единой точки зрения при помощи теории представлений групп. Этот подход позволяет единым образом получать всевозможные соотношения между специальными функциями, как ранее известные, так и новые. Книга предназначена для математиков, физиков (как теоретиков, так и экспериментаторов), научных работников в области техники, а также может быть использована аспирантами и студентами старших курсов университетов.

   В этой книге теория специальных функций излагается с теоретико-групповой точки зрения. С первого взгляда теория специальных функций представляется хаотическим набором формул: помимо того, что существует необозримое множество самих специальных функций, для каждой из них в настоящее время найдено много всевозможных дифференциальных уравнений, интегральных представлений, рекуррентных формул, теорем сложения и т. д. Установить какой-либо порядок в этом хаосе формул кажется совершенно безнадежной задачей.

   Однако развитие теории представлений групп дало в настоящее время возможность охватить теорию наиболее важных классов специальных функций с единой точки зрения. Отметим, что оценка важности отдельных классов специальных функций сильно изменилась за последнее столетие. В середине и второй половине XIX века наиболее интересными считались эллиптические и связанные с ними функции. Однако, как отметил в одном своем выступлении Ф. Клейн, существует другой класс специальных функций, по меньшей мере столь же важный ввиду их многочисленных приложений к астрономии и математической физике - это гипергеометрические функции. Развитие математики за истекшее время подтверждает мнение Клейна - гипергеометрическая функция и ее различные частные и вырожденные случаи - функции Бесселя, Лежандра, ортогональные многочлены Якоби, Чебышева, Лагерра, Эрмита и т. д. - играют все большую роль в самых разных отделах математики и ее приложений. Этот класс специальных функций часто называют специальными функциями математической физики. Он-то и поддается теоретико-групповой трактовке.

   Связь между специальными функциями и представлениями групп была впервые открыта Э. Картаном. (прочем, еще ранее были установлены связи теории специальных функций с теорией инвариантов, являющейся одним из аспектов теории представлений групп.) Значительную роль в исследовании этих связей сыграло применение теории представлений в квантовой механике. Дальнейшие работы в этой области стимулировались исследованиями И. М. Гельфанда, М. А. Наймарка и их учеников и сотрудников в области бесконечномерных представлений групп. В ходе этих исследований была установлена связь теории представлений групп с авто-морфными функциями, построена теория специальных функций над конечными полями, специальных функций в однородных областях и т. д.

   Целью данной книги является систематическое изложение теории специальных функций с групповой точки зрения. При этом мы ограничились изучением классических специальных функций и тем самым простейших групп. Книга состоит из одиннадцати глав. В первой главе изложены основные понятия и факты теории групп преобразований и представлений групп.

   Во второй главе разобраны два модельных примера - аддитивная группа вещественных чисел и группа вращений окружности. Эти группы приводят соответственно к показательной и тригонометрическим функциям. В этой главе, кроме того, изложены некоторые факты классического гармонического анализа - теория рядов и интегралов Фурье в вещественной и комплексной областях.

   Третья глава посвящена представлениям группы вращений трехмерного евклидова пространства и локально изоморфной ей группы SU(2) унитарных унимодулярных матриц второго порядка. Матричные элементы неприводимых унитарных представлений этих групп выражаются через многочлены Лежандра и Якоби. Поэтому РЗ общих свойств матричных элементов вытекают различные соотношения для этих многочленов (соотношения ортогональности и полноты, рекуррентные формулы, теорема сложения и т. д.). В конце главы рассмотрен дискретный аналог многочленов Якоби - коэффициенты Клебша-Гордана.

   В четвертой главе изучены представления группы движений евклидовой плоскости. Матричные элементы представлений этой группы выражаются через функции Бесселя, что позволяет вывести ряд свойств функций Бесселя из теоретико-групповых соображений. Дальнейшие свойства функций Бесселя и тесно связанных с ними функций Ганкеля и Макдональда изучены в главе V, посвященной представлениям группы движений псевдоевклидовой плоскости. В этой главе выведен ряд интегралов по индексу для цилиндрических функций. В начале главы рассмотрены группа линейных преобразований прямой линии и теория Г-функции.

   В шестой и седьмой главах рассмотрены представления группы вещественных унимодулярных матриц второго порядка. Представления этой группы связаны с несколькими классами специальных функций. В шестой главе изучены функции конуса. В седьмой главе рассмотрена реализация представлений в виде интегральных операторов, ядром которых служит гипергеометрическая функция. Отсюда выводится ряд свойств гипергеометрической функции, как хорошо известных (интегральное представление Меллина - Бернса), так и новых. В главе VIII аналогичным образом изучена вырожденная гипергеометрическая функция, точнее говоря, тесно связанные с ней функции Уиттекера. Показано, что теория функций Уиттекера основана на изучении представлений группы треугольных матриц третьего порядка. Исходя из этого, выведены различные свойства функций Уиттекера - интегральные представления, рекуррентные формулы, континуальные теоремы сложения. В этой же главе рассмотрены многочлены Лагерра и выведена для них формула сложения.

   Все группы, рассмотренные в главах II - VIII, имеют весьма простую структуру. Более сложные группы рассмотрены в главах IX - XI, а именно, группы движений n-мерной сферы, n-мерного пространства Лобачевского и n-мерного евклидова пространства. Однако при этом мы рассматриваем не все неприводимые представления этих групп, а лишь так называемые представления класса 1, и не все матричные элементы представлений, а лишь матричные элементы "нулевого столбца". Этого оказывается уже достаточно, чтобы построить теорию многочленов Гегенбауэра и гармонических многочленов, а также получить разложение функций на n-мерной сфере и гиперболоиде. В главе XI выведены дальнейшие свойства функций Бесселя.

   К сожалению, объем книги не позволил остановиться на некоторых вопросах, связанных с теорией представлений и специальными функциями. Так, не была рассмотрена группа движений n-мерного псевдоевклидова пространства. Остались почти не освещенными асимптотические свойства специальных функций. Впрочем, изложенные в книге интегральные представления этих функций позволяют получить их асимптотические разложения обычными методами.

   Автор приносит глубокую благодарность И. М. Гельфанду, советами и указаниями которого он пользовался в течение всей работы над книгой, и роль которого в создании книги трудно переоценить. Автор благодарит также М. А. Наймарка, М. И. Граева, И. И. Пятецкого-Шапиро, Ф. А. Березина, Ф. И. Карпелевича, С. Г. Гиндикина, Д. П. Желобенко, с которыми часто обсуждал вопросы теории представлений групп и теории специальных функций. Многочисленные советы М. И. Граева повлияли на трактовку некоторых вопросов и окончательное расположение материала.

   Весьма полезными для автора были беседы с Я. А. Смородинским и его учениками о применениях теории представлений групп и интегральных преобразований в физике. В. В. Цукерман взял на себя нелегкий труд по проверке формул. Большое внимание уделил рукописи на всех этапах ее прохождения А. 3. РЫБКИН. С. А. Виленкина перепечатывала многочисленные варианты рукописи. Выражаю им благодарность за большую помощь, значительно облегчившую подготовку рукописи к печати.

 



 

 

Наши ссылки на веб-страницы, можно скопировать html-код ссылки


Книги по математике и физике, программы HTML, компьютерные технологии

Скачать книги - математика, бесплатно книги по высшей математике и физике по Интернет

   Примечание. Удобная текстовая ссылка для форумов, блогов, цитирования материалов веб-сайта, код html можно скопировать и просто вставить в Ваши веб-страницы при цитировании материалов нашего веб-сайта. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.

 

   Вы можете использовать скачанные с веб-сайта книги и другие материалы только для личного ознакомления. Авторское право авторов книг и любых электронных приложений к ним (в том числе фото, видео, рукописи, архивы и прочее) не подлежит патентованию и подобным "искусственным" дополнительным мерам защиты авторского права - не патентуют рукописи, фотографии, видеоматериалы, формулы, графики, сводные таблицы, тексты монографий, черновики и оригинальные издания вне зависимости от того, находятся ли они в частных или государственных архивах любой страны. Вне зависимости от того, есть ли у книги или рукописи и автора какие-либо коды или нет, подписаны они или нет, известен автор или нет, является он(а) гражданином Украины или иностранцем - запрещено явным образом присваивать чужое авторское право и ставить чужие ФИО в чужих работах и трудах (в случае неуказанного, неустановленного или сомнительного авторства наиболее предпочтительно использовать анонимность - это корректно, этично и непротивозаконно, так как в этом случае истинные владельцы будут поданы в розыск и объективно установленны в своих правах независимой комиссией).

   Сегодня электронный вариант публикации приравнен к печатной бумажной форме распространения информации (требования аналогичны). Наиболее предпочтительными являются международные форматы публикаций PDF и DJVU (они лучше всего защищены от сторонних модификаций - изменения в них могут внести только профессионалы), допускаются и другие общепринятые и широко распространенные форматы электронного представления авторской или смежной информации. Помните, что один человек сам по себе ничего не делает и не решает - у любого автора любого издания есть коллеги, единомышленники, соратники, кураторы, преподаватели, наставники, идейные, политические и научные руководители и вдохновители, предшественники и приемники, завистники и плагиаторы, желающие незаконно "упасть на хвост и поехать", "присоседиться к работе" и "присоединиться". Чем серьезнее ученый и чем более масштабные объективные и фундаментальные работы он(а) реально ведет, тем большее количество мошенников и аферистов желает незаконно "находиться" и "быть рядом" с таким человеком, его деньгами, премиями, подарками и другими объективными поощрениями. Поэтому все подобные аферисты и мошенники, как и их голословные заявления, подлежат строгой проверке на практике как гласными, так и негласными методами государственного, общественного и политического независимого контроля (в том числе судебного и силового).

   Вам разрешается использовать электронные публикации и иные материалы только для личного ознакомления. Никаких дополнительных прав и свобод (в том числе авторских и коммерческих прав, в том числе права на коммерческое распространение) получение и обладание электронной и иной публикации и материалов Вам не предоставляет. Вам не дает никаких прав, в т.ч. авторских и смежных прав, личное знакомство с автором и правообладателем, совместное проживание, учеба или работа, семейный и иной статус, совместное хобби и увлечения, посещение одних и тех же мероприятий, встречи, конфликты и даже отсутствие таковых. Вы не имеете право продавать электронные публикации и иные авторские материалы, отчуждать их от владельца и извлекать материальную выгоду от владения электронной и иной формой представления авторской информации. Отчуждение авторского научного и творческого права запрещено вне зависимости от срока давности издания, способа и места его хранения, разрекламированности, известности или неизвестности и даже анонимности автора и соавтора, гражданства, здоровья, болезни и любого другого объективного статуса реального правообладателя. Запрещены фото- и видеомонтажи, врезки и изъятия, компиляция из сторонних источников и другие формы заведомого мошенничества. Запрещено иностранцам без признанной в Украине и документально подтвержденной профессии, без легитимных виз и специальных персонифицированных межгосударственных соглашений занимать рабочие места граждан Украины на территории Украины и во всех предприятиях, которые являются собственностью Украины и ее граждан вне зависимости от места регистарции и дислокации этих предприятий. Запрещено работать без рабочих виз на территории Украины гражданам и подданым стран, с которыми у Украины установлен визовый режим (в частности, сюда входят ВСЕ страны "Евросоюза" - т.н. "шенгенская зона", Израиль, Великобритания и пр.).

   Любое авторское право (особенно научное и творческое) никогда не патентуется, не отчуждается ни при каких обстоятельствах, не продается и не покупается и является неотъемлимым от его создателя при любых обстоятельствах - патентуются только уникальные инженерные и программные разработки, авторские алгоритмы, изобретения и подобные материалы, содержащие более 60% объективно признанных независимой государственной экспертной комиссией авторских инноваций. Незаконным является присвоение себе чужих архивов, черновиков, заметок, аудио, фото и видеоматериалов (даже если вы не знаете их автора или же непосредственно знакомы с создателем и правообладателем, это ничего не решает). Научное и творческое авторское право не отчуждается от автора и создателя и никогда не делегируется третьим лицам (особенно без профессии и неконтрафактных документов) - оно является наиболее строгим авторским правом, неотделимым от своего создателя, и не подлежит передаче, купле и продаже ни при каких обстоятельствах. Оно только может быть передано в возмездное или безвозмездное пользование БЕЗ ПРАВА НА ОТЧУЖДЕНИЕ. Главной особенностью научного и творческого авторского права является его обязательная частичная передача в безвозмездное пользование широким слоям заинтересованного населения - на этом сайте все научные книги бесплаты и свободны для скачивания без паролей, кодов и ограничений (я как владелец этого сайта и интернет-хостинг-провайдеры не несем ответственность за деятельность третьих лиц, возможные сбои и технические нарушения интернет-связи при пользовании сайтами по вине третьих лиц). Никаких искусственных препятствий, ограничений скорости, других "негативов" и препятствий мы не устанавливаем.

   Государство Украина имеет достаточную базу для обеспечения научных работ и научных исследований по всем законным направлениям научной деятельности. C 2010 г. в Украине любая наука и научные исследования являются объектами строгой государственной монополии и требуют наличия не только документально признанной в Украине профессии, но и высшего государственного образования, официально признанного в Украине.