ISBN 966-7343-29-5 К.305

УДК 531.0
ББК 22.311
  К.305

Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
   Г. Харди, Расходящиеся ряды

   Вы можете  найти на этой странице (программа отметит желтым цветом)
   Вы можете посмотреть  список книг по высшей математике с сортировкой по алфавиту.
   Вы можете посмотреть  список книг по высшей физике с сортировкой по алфавиту.

   Бесплатно скачать книгу, объем 4.28 Мб, формат .djvu (монография, Москва, 1951)

   Уважаемые дамы и господа !! Для того, чтобы без "глюков" скачать файлы электронных публикаций, нажмите на подчеркнутую ссылку с файлом ПРАВОЙ кнопкой мыши, выберите команду "Save target as ..." ("Сохранить объект как ...") и сохраните файл электронной публикации на локальный компьютер. Электронные публикации обычно представлены в форматах Adobe PDF и DJVU.

   Глава I. Введение
   1.1. Сумма ряда
   1.2. Некоторые вычисления с расходящимися рядами
   1.3. Первоначальные определения
   1.4. Регулярность метода
   1.5. Расходящиеся интегралы и обобщенные пределы функций непрерывного переменного
   1.6. Некоторые исторические замечания
   1.7. Замечания о британских аналитиках первой половины девятнадцатого века
   Примечания к главе I

   Глава II. Несколько исторических примеров
   2.1. Введение. Эйлер и функциональное уравнение дзета-функции Римана
   2.2. Функциональное уравнение для
   2.3. Эйлерова проверка
   2.4. Суммирование ряда
   2.5. Асимптотическое поведение ряда
   2.6. Численные расчеты Фурье и его теорема
   2.7. Теорема Фурье
   2.8. Первая формула Фурье
   2.9. Другие формы коэффициентов и рядов
   2.10. Законность формул Фурье. Показательный ряд Хэвисайда
   2.11. Хэвисайд о расходящихся рядах
   2.12. Обобщенный показательный ряд
   2.14. Обобщенный биномиальной ряд
   Примечания к главе II

   Глава III. Общие теоремы
   3.1. Линейные преобразования
   3.2. Регулярные преобразования
   3.3. Доказательство теорем 1 и 2
   3.4. Доказательство теоремы 3
   3.5. Варианты и аналоги
   3.6. Положительные преобразования
   3.7. Теорема Кноппа
   3.8. Одно применение теоремы 2
   3.9. Разбавление рядов
   Примечания к главе III

   Глава IV. Частные методы суммирования
   4.1. Методы Вороного
   4.2. Регулярность и совместность методов Вороного
   4.3. Включение
   4.4. Равносильность
   4.5. Еще одна теорема о включении
   4.6. Метод Эйлера
   4.7. Методы Абеля
   4.8. Теорема о включении для абелевских средних
   4.9. Комплексные методы
   4.10. Суммируемость ряда 1 - 1 + 1 - 1 + ... отдельными методами Абеля
   4.11. Методы Линделефа и Миттаг-Леффлера
   4.12. Методы суммирования, определяемые целыми функциями
   4.13. Моментные методы
   4.14. Теорема совместности
   4.15. Методы, неэффективные для расчета
   4.16. Нормальные средние Рисса
   4.17. Методы, возникшие под влиянием теории рядов Фурье
   4.18. Общий принципы
   Примечания к главе IV

   Глава V. Арифметические средние
   5.1. Введение
   6.1. Методы Гельдера
   5.1. Элементарные теоремы относительно суммируемости по Гельдеру
   5.2. Методы Чезаро
   5.3. Средние нецелого порядка
   5.4. Теорема о свертках
   5.5. Простейшие теоремы относительно суммируемости по Чезаро
   5.6. Теорема равносильности
   5.7. Теорема Мерсера и доказательство Шура теоремы равно
   сильности
   5.8. Другие доказательства теоремы Мерсера
   5.9. Бесконечные пределы
   5.10. Суммируемость по Чезаро и по Абелю
   5.11. Чезаровские средние как средние Вороного
   5.12. Интегралы
   5.13. Теоремы о суммируемых интегралах
   5.14. Риссовские арифметические средние
   5.15. Равномерно распределенные последовательности
   5.18. Равномерная распределенность последовательности
   Примечания к главе V

   Глава VI. Арифметические средние
   6.1. Теоремы тауберова типа для методов Чезаро
   6.2. Медленно колеблющиеся и медленно убывающие функции
   6.3. Другое условие тауберова типа
   6.4. Теоремы о выпуклости
   6.5. Множители сходимости
   6.6. Множитель
   6.7. Другое условие суммируемости
   6.8. Интегралы
   6.9. Биномиальный ряд
   Примечания к главе VI

   Глава VII. Теоремы тауберова типа для степенных рядов
   7.1. Теоремы абелева и тауберова типов
   7.2. Первая теорема Таубера
   7.3. Вторая теорема Таубера
   7.4. Применения к общим рядам Дирихле
   7.5. Более глубокие теоремы тауберова типа
   7.6. Доказательство теорем 96 и 96а
   7.7. Доказательство теорем 91 и 91а
   7.8. Дальнейшие замечания о связях между
   7.10. Медленно колеблющиеся и медленно убывающие функции
   7.11. Другое обобщение теоремы 98
   7.12. Метод Харди и Литтльвуда
   7.13. Теорема о "больших показателях"
   Примечания к главе VII

   Глава VIII. Методы Эйлера и Бореля
   8.1. Введение
   8.3. Простые свойства
   8.4. Формальные связи между методами Эйлера и Бореля
   8.5. Методы Бореля
   8.6. Нормальная, абсолютная и регулярная суммируемость
   8.7. Теоремы абелева типа для метода суммирования Бореля
   8.8. Аналитическое продолжение функции, регулярной вначале, многоугольник суммируемости
   8.9. Ряды, представляющие функции с особенностью в начале
   8.10. Аналитическое продолжение другими методами
   8.11. Суммируемость некоторых асимптотических рядов
   Примечания к главе VIII

   Глава IX. Методы Эйлера и Бореля (2
   9.1. Элементарные леммы
   9.2. Доказательство теоремы 137
   9.3. Доказательство теоремы 139
   9.4. Еще одна элементарная лемма
   9.5. Теорема Островского о сверхсходимости
   9.6. Теоремы тауберова типа для метода Бореля
   9.7. Теоремы тауберова типа (продолжение)
   9.8. Примеры рядов, не суммируемых
   9.9. Теорема противоположного характера
   9.10. Метод суммирования
   9.11. Суммируемость
   9.12. Дальнейшие замечания о теоремах 150-155
   9.13. Основная теорема тауберова типа
   9.14. Обобщения
   9.15. Ряд
   9.16. Методы Валирона
   Примечания к главе IX

   Глава X. Умножение рядов
   10.1. Формальные правила умножения рядов
   10.2. Классические теоремы об умножении по правилу
   10.3. Умножение суммируемых рядов
   10.4. Другие теоремы о сходимости произведения рядов
   10.5. Дальнейшие применения теоремы 170
   10.6. Знакочередующиеся ряды
   10.7. Формальное перемножение рядов
   10.8. Умножение интегралов
   10.9. Суммируемость по Эйлеру
   10.10. Суммируемость по Борелю
   10.11. Правило умножения Дирихле
   10.12. Ряды, бесконечные в обоих направлениях
   10.13. Аналоги теорем Коши и Мертенса
   10.14. Дальнейшие теоремы
   10.15. Аналог теоремы Абеля
   Примечания к главе X

   Глава XI. Хаусдорфовские средние
   11.1. Преобразование В
   11.2. Выражение преобразований (Е, q) и (С, 1) через В
   11.3. Общее хаусдорфовское преобразование
   11.4. Общие гельдеровские и чезаровские преобразования как р-преобразования
   11.5. Условия регулярности вещественных хаусдорфовских преобразований
   11.6. Абсолютно монотонные последовательности
   11.7. Окончательный вид условий регулярности
   11.8. Моменты
   11.9. Теорема Хаусдорфа
   11.10. Включение и равносильность методов
   11.11. Теорема Мерсера и равносильность гельдеровских и чезаровских средних
   11.12. Некоторые частные случаи
   11.13. Логарифмические случаи
   11.14. Экспоненциальный случай
   11.15. Ряд Лежандра для xW
   11.16. Моменты для функции специальных классов
   11.17. Одно неравенство для хаусдорфовских средник
   11.18. Непрерывные преобразования
   11.19. Квази-хаусдорфовские преобразования
   11.20. Регулярность квази-хаусдорфовского преобразования
   11.21. Примеры
   Примечания к главе XI

   Глава XII. Тауберовы теоремы Винера
   12.1. Введение
   12.2. Условие Винера
   12.3. Леммы о преобразованиях Фурье
   12.4. Леммы относительно класса U
   12.5. Заключительные леммы
   12.6. Доказательство теорем 221 и 220
   12.7. Вторая теорема Винера
   12.8. Теоремы для интервала (0, со)
   12.9. Некоторые специальные ядра
   12.10. Применение общих теорем к некоторым специальным ядрам
   12.11. Применения к теории простых чисел
   12.12. Односторонние условия
   12.13. Теорема Виджаярагавана
   12.14. Доказательство теоремы 238
   12.15. Суммируемость по Борелю
   12.16. Суммируемость (R, 2)
   Примечания к главе XII

   Глава XIII. Формула суммирования Эйлера-Маклорена
   13.1. Введение
   13.2. Числа Бернулли и многочлены Бернулли
   13.3. Ассоциированные периодические функции
   13.4. Знаки функций уп(х)
   13.5. Формула суммирования Эйлера-Маклорена
   13.6. Пределы при и -> оо
   13.7. Знак и величина остаточного члена
   13.8. Пуассоновское доказательство формулы Эйлера-Маклореиа
   13.9. Об одной формуле Фуръе
   13.10. Случай и дзета-функция Римана
   13.11. Случай и теорема Стерлинга
   13.12. Обобщение формулы Эйлера-Маклорена
   13.13. Другие формулы для С
   13.14. Исследование формулы Эйлера-Маклорена посредством комплексного интегрирования
   13.15. Суммируемость ряда Эйлера-Маклорена
   13.16. Дополнительные замечания
   13.17. Определение суммы расходящегося ряда

   Примечания к главе XIII
   Приложение I. О вычислении некоторых определенных интегралов
   с помощью расходящихся рядов
   Приложение II. Ядра Фурье некоторых методов суммирования
   Приложение III. О суммируемости по Римаиу и по Абелю
   Приложение IV. О суммируемости по Ламберту и по Ингаму
   Приложение V. Две теоремы Картрайта. Методы суммирования С. Н. Бернштейна и В. Рогозинского

Краткая аннотация книги

   Настоящая книга представляет собой монографию, посвященную суммированию расходящихся рядов. Она содержит обширный исторический обзор вопроса, краткое введение в общую теорию суммирования рядов и подробное исследование ряда конкретных методов суммирования (методов Чезаро, Абеля, Вороного, Эйлера и др.).

   Кроме того, здесь рассматриваются - приложения теории к задаче перемножения рядов, к исследованию формулы суммирования Эйлера-Маклорена, к аналитическому продолжению функций, к суммированию рядов Фурье и к нахождению значений определенных интегралов.

   Книга рассчитана на математиков - научных работников, аспирантов и студентов старших курсов - и требует для своего чтения знания теории функций действительного и комплексного переменного. В некоторые своих разделах она может быть также полезна 'для тех инженеров, которые встречаются с расходящимися рядами.

   Пожалуй, ни одна математическая дисциплина не нуждается так в обзорной монографии, как теория суммирования расходящихся рядов. Посвященная ей журнальная литература непрерывно увеличивается и почти необозрима. Некоторые теоремы до того обросли обобщениями, вариантами и аналогами, что во всем этом лесу трудно ориентироваться без хорошего путеводителя. Частично эту роль и выполняет книга Г. Харди "Расходящиеся ряды". Читатель найдет здесь обширный исторический обзор вопроса (гл. I-II), краткое введение в общую теорию суммирования рядов (гл. III), подробное исследование многих конкретных методов суммирования (гл. IV-IX), изложение теории Винера и свойств хаусдорфовских средних (гл. XI и XII), а также некоторые приложения теории (гл. X и XIII).

   Этот перечень показывает, что в книге затронуты далеко не все вопросы теории суммирования рядов. Например, автор ограничивается определением абсолютной суммируемости по Чезаро и не изучает это понятие. Далее, автор совершенно не рассматривает суммирование двойных и кратных рядов. Возникающие здесь специфические трудности не нашли никакого отражения в книге. Наконец, автор просто прошел мимо важной общей теории суммирования ограниченных по-o следовательностей, развитой главным образом молодым советским математиком А. Л. Брудно. Приложения теории суммирования к рядам Фурье развиты недостаточно подробно. Например, автор не излагает важных исследований Д. ?. Меньшова, С. М. Никольского и С. М. Лозинского по этим вопросам. В основном книга посвящена исследованию конкретных "классических" методов суммирования. Но и здесь изложение не является исчерпывающим. В частности, автор не рассматривает соотношения между методами суммирования при непрерывном и дискретном изменении параметра (М. П. Щеглов), а также важнейшие методы суммирования С. Н. Бернштейна-Рогозинского, изученные С. Н. Бернштейном, В. Рогозинским, Ф. И. Харшиладзе и другими. К книге приложена моя обзорная статья "Методы суммирования С. Н. Бернштейна и В. Рогозинского", Редакция отказалась от мысли дать также обзорные статьи, посвященные общей теории суммирования ограниченных последовательностей и суммирования рядов Фурье, так как эти темы очень обширны, и их рассмотрение требует привлечения средств функционального анализа, чуждых последовательной теоретико-функциональной точке зрения автора.

   Как известно, в 1901 г. Г. Ф. Вороной ввел в рассмотрение метод суммирования.

   Однако в иностранной математической литературе этот метод суммирования неправильно называется методом Нерлунда, хотя Нерлунд рассмотрел его только через 18 лет, в 1919 г. В настоящем переводе этому методу присвоено исторически правильное название метода Вороного.

   Этот метод встречается уже у Бореля в его монографии, вышедшей в 1901 г., и относится к тому типу методов, которые были впоследствии подробно изучены М. Риссом. Поэтому для данного метода в переводе принято обозначение (R, рп).

   Сделаем теперь несколько замечаний по поводу истории возникновения и развития теории суммирования расходящихся рядов. Основоположником теории суммирования рядов является Леонард Эйлер. Многие математики XVII и XVIII веков (Лейбниц, Бернулли, Далам-бер, Лагранж и др.) долго и безуспешно спорили о том, чему равна сумма расходящегося ряда. Эйлер первый понял, что задача поставлена неправильно и что нужно спрашивать: как определить сумму расходящегося ряда? Он пишет: И вот я говорю, что вся трудность кроется в названии "сумма". Действительно, если иод "суммой" ряда понимать, как это обычно делается, результат сложения всех его членов, то нет никакого сомнения, что суммы можно получить только для тех бесконечных рядов, которые являются сходящимися и дают результаты, тем более близкие к некоторому определенному значению, чем больще членов складывается. Расходящиеся же ряды, члены которых не убывают ..., вообще не будут иметь никаких определенных сумм, если только слово "сумма" понимается в смысле результата сложения всех членов.

   Этих затруднений и кажущихся противоречий мы совершенно избежим, если мы припишем слову "сумма" значение, отличное от обычного. А именно, мы скажем, что сумма некоторого бесконечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд ... При этом соглашении, если ряд будет сходящимся, то новое определение слова "сумма" совпадает с обычным, а так как расходящиеся ряды не имеют никакой суммы в собственном смысле слова, то из этого нового определения не проистечет никаких неудобств. Приняв это определение, мы сможем сохранить выгоды пользования расходящимися рядами и в то же время защититься от всяческих обвинений".

   Как видно из этой цитаты, точка зрения Эйлера на расходящиеся ряды вполне современна: расходящиеся ряды не имеют суммы в обычном смысле этого слова, однако возможно дать новое определение суммы ряда (мы бы сказали: определение метода суммирования рядов), применимое как ко всем сходящимся рядам, так и к некоторым расходящимся рядам; при этом от определения нужно потребовать, чтобы для сходящихся рядов новая сумма совпадала с обычной (мы бы сказали: метод должен быть регулярным). Что же касается конкретного определения Эйлера "сумма некоторого бесконечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд", то оно еще недостаточно четко и легко могло привести к противоречиям.

   Эти высказывания Эйлера долгое время не были правильно поняты и способствовали некритическому допущению в анализ расходящихся рядов и основанных на них рассуждений. Достаточно отметить, что в большом трактате Лакруа по дифференциальному и интегральному исчислению (начало XIX века) вовсе не фигурирует понятие сходимости ряда и не излагаются известные к тому времени признаки сходимости (признак Лейбница, признак Даламбера и признак, который теперь часто называют интегральным признаком Коши). После произведенного в первой половине XIX века критического пересмотра основ анализа расходящиеся ряды были почти полностью изгнаны из математики. Однако они все же встречаются как у Коши, так и р более позднее время, например у Лагерра.

   Современная теория суммирования расходящихся рядов начала бурно развиваться в конце XIX - начале XX века. Этому значительно способствовало то обстоятельство, что выявились связи этой теории с другими математическими дисциплинами. Так, Чезаро (1880) ввел свои методы суммирования в связи с рассмотрением задачи о перемножении рядов; Борель (1895-1901) изучал "метод Бореля" в связи с исследованием аналитического продолжения функций; наконец, Л. Фейер (1904) показал, какую пользу может принести теория суммирования рядов теории рядов Фурье. Этот период в основном завершился выходом в свет первой обзорной монографии Бореля (1901), посвященной расходящимся рядам. После этого теория расходящихся рядов стала доступной для широкого круга математиков, и ее развитие больше не останавливалось.

 



 

 

Наши ссылки на веб-страницы, можно скопировать html-код ссылки


Книги по математике и физике, программы HTML, компьютерные технологии

Скачать книги - математика, бесплатно книги по высшей математике и физике по Интернет

   Примечание. Удобная текстовая ссылка для форумов, блогов, цитирования материалов веб-сайта, код html можно скопировать и просто вставить в Ваши веб-страницы при цитировании материалов нашего веб-сайта. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.

 

   Вы можете использовать скачанные с веб-сайта книги и другие материалы только для личного ознакомления. Авторское право авторов книг и любых электронных приложений к ним (в том числе фото, видео, рукописи, архивы и прочее) не подлежит патентованию и подобным "искусственным" дополнительным мерам защиты авторского права - не патентуют рукописи, фотографии, видеоматериалы, формулы, графики, сводные таблицы, тексты монографий, черновики и оригинальные издания вне зависимости от того, находятся ли они в частных или государственных архивах любой страны. Вне зависимости от того, есть ли у книги или рукописи и автора какие-либо коды или нет, подписаны они или нет, известен автор или нет, является он(а) гражданином Украины или иностранцем - запрещено явным образом присваивать чужое авторское право и ставить чужие ФИО в чужих работах и трудах (в случае неуказанного, неустановленного или сомнительного авторства наиболее предпочтительно использовать анонимность - это корректно, этично и непротивозаконно, так как в этом случае истинные владельцы будут поданы в розыск и объективно установленны в своих правах независимой комиссией).

   Сегодня электронный вариант публикации приравнен к печатной бумажной форме распространения информации (требования аналогичны). Наиболее предпочтительными являются международные форматы публикаций PDF и DJVU (они лучше всего защищены от сторонних модификаций - изменения в них могут внести только профессионалы), допускаются и другие общепринятые и широко распространенные форматы электронного представления авторской или смежной информации. Помните, что один человек сам по себе ничего не делает и не решает - у любого автора любого издания есть коллеги, единомышленники, соратники, кураторы, преподаватели, наставники, идейные, политические и научные руководители и вдохновители, предшественники и приемники, завистники и плагиаторы, желающие незаконно "упасть на хвост и поехать", "присоседиться к работе" и "присоединиться". Чем серьезнее ученый и чем более масштабные объективные и фундаментальные работы он(а) реально ведет, тем большее количество мошенников и аферистов желает незаконно "находиться" и "быть рядом" с таким человеком, его деньгами, премиями, подарками и другими объективными поощрениями. Поэтому все подобные аферисты и мошенники, как и их голословные заявления, подлежат строгой проверке на практике как гласными, так и негласными методами государственного, общественного и политического независимого контроля (в том числе судебного и силового).

   Вам разрешается использовать электронные публикации и иные материалы только для личного ознакомления. Никаких дополнительных прав и свобод (в том числе авторских и коммерческих прав, в том числе права на коммерческое распространение) получение и обладание электронной и иной публикации и материалов Вам не предоставляет. Вам не дает никаких прав, в т.ч. авторских и смежных прав, личное знакомство с автором и правообладателем, совместное проживание, учеба или работа, семейный и иной статус, совместное хобби и увлечения, посещение одних и тех же мероприятий, встречи, конфликты и даже отсутствие таковых. Вы не имеете право продавать электронные публикации и иные авторские материалы, отчуждать их от владельца и извлекать материальную выгоду от владения электронной и иной формой представления авторской информации. Отчуждение авторского научного и творческого права запрещено вне зависимости от срока давности издания, способа и места его хранения, разрекламированности, известности или неизвестности и даже анонимности автора и соавтора, гражданства, здоровья, болезни и любого другого объективного статуса реального правообладателя. Запрещены фото- и видеомонтажи, врезки и изъятия, компиляция из сторонних источников и другие формы заведомого мошенничества. Запрещено иностранцам без признанной в Украине и документально подтвержденной профессии, без легитимных виз и специальных персонифицированных межгосударственных соглашений занимать рабочие места граждан Украины на территории Украины и во всех предприятиях, которые являются собственностью Украины и ее граждан вне зависимости от места регистарции и дислокации этих предприятий. Запрещено работать без рабочих виз на территории Украины гражданам и подданым стран, с которыми у Украины установлен визовый режим (в частности, сюда входят ВСЕ страны "Евросоюза" - т.н. "шенгенская зона", Израиль, Великобритания и пр.).

   Любое авторское право (особенно научное и творческое) никогда не патентуется, не отчуждается ни при каких обстоятельствах, не продается и не покупается и является неотъемлимым от его создателя при любых обстоятельствах - патентуются только уникальные инженерные и программные разработки, авторские алгоритмы, изобретения и подобные материалы, содержащие более 60% объективно признанных независимой государственной экспертной комиссией авторских инноваций. Незаконным является присвоение себе чужих архивов, черновиков, заметок, аудио, фото и видеоматериалов (даже если вы не знаете их автора или же непосредственно знакомы с создателем и правообладателем, это ничего не решает). Научное и творческое авторское право не отчуждается от автора и создателя и никогда не делегируется третьим лицам (особенно без профессии и неконтрафактных документов) - оно является наиболее строгим авторским правом, неотделимым от своего создателя, и не подлежит передаче, купле и продаже ни при каких обстоятельствах. Оно только может быть передано в возмездное или безвозмездное пользование БЕЗ ПРАВА НА ОТЧУЖДЕНИЕ. Главной особенностью научного и творческого авторского права является его обязательная частичная передача в безвозмездное пользование широким слоям заинтересованного населения - на этом сайте все научные книги бесплаты и свободны для скачивания без паролей, кодов и ограничений (я как владелец этого сайта и интернет-хостинг-провайдеры не несем ответственность за деятельность третьих лиц, возможные сбои и технические нарушения интернет-связи при пользовании сайтами по вине третьих лиц). Никаких искусственных препятствий, ограничений скорости, других "негативов" и препятствий мы не устанавливаем.

   Государство Украина имеет достаточную базу для обеспечения научных работ и научных исследований по всем законным направлениям научной деятельности. C 2010 г. в Украине любая наука и научные исследования являются объектами строгой государственной монополии и требуют наличия не только документально признанной в Украине профессии, но и высшего государственного образования, официально признанного в Украине.