Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
В.С. Владимиров, Обобщенные функции в математической физике
• Бесплатно скачать книгу, объем 2.37 Мб, формат .djvu
Глава I ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
§ 1. Основные и обобщенные функции
1. Введение (15).
2. Пространство основных функций D (О) (17).
3. Пространство обобщенных функций D' (О) (21).
4. Полнота пространства обобщенных функций D' (О) (23).
5. Носитель обобщенной функции (26).
6. Регулярные обобщенные функции (27).
7. Меры (29).
8. Формулы Сохоцкого (33).
9. Замены переменных в обобщенных функциях (35).
10. Умножение обобщенных функций (37).
§ 2. Дифференцирование обобщенных функций
1. Производные обобщенных функций (38).
2. Первообразная обобщенной функции (40).
3. Примеры (42).
4. Локальная структура обобщенных функций (48).
5. Обобщенные функции с компактным носителем (50).
6. Обобщенные функции с точечным носителем (51).
§ 3. Прямое произведение обобщенных функций
1. Определение прямого произведения (53).
2. Свойства прямого произведения (56).
3. Некоторые применения (59).
4. Обобщенные функции, гладкие по части переменных (61).
§ 4. Свертка обобщенных функций
1. Определение свертки (64).
2. Свойства свертки (67).
3. Существование свертки (70).
4. Конусы в Rn (73).
5. Сверточные алгебры D (Г+) и D' (Г) (78).
6. Регуляризация обобщенных функций (79).
7. Свертка-линейный непрерывный трансляционно-инвариантный оператор (81).
8. Некоторые применения (83).
§ 5. Обобщенные функции медленного роста
1. Пространство основных функций (быстро убывающих) (90).
2. Пространство обобщенных функций (медленного роста) (93).
3. Примеры обобщенных функций медленного роста и простейшие операции (94).
4. Структура обобщенных функций медленного роста (96).
5. Прямое произведение обобщенных функций медленного роста (98).
6. Свертка обобщенных функций медленного роста (99).
Глава II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 6. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста
1. Преобразование Фурье основных функций (103).
2. Преобразование Фурье обобщенных функций (104).
3. Свойства преобразования Фурье (106).
4. Преобразование Фурье обобщенных функций с компактным носителем (107).
5. Преобразование Фурье свертки (108).
§ 7. Ряды Фурье периодических обобщенных функций.
1. Определение и простейшие свойства периодических обобщенных функций (120).
2. Ряды Фурье периодических обобщенных функций (123).
3. Сверточная алгебра (124).
§ 8. Положительно определенные обобщенные функции
1. Определение и простейшие свойства положительно определенных обобщенных функций (128).
2. Теорема Бохнера-Шварца (130).
3. Примеры (132).
§ 9. Преобразование Лапласа обобщенных функций медленного роста
1. Определение преобразования Лапласа (133).
2. Свойства преобразования Лапласа (136).
3. Примеры (137).
§ 10. Ядро Коши и преобразования Коши-Бохнера и Гильберта
1. Пространство Hs (140).
2. Ядро Коши (145).
3. Преобразование Коши-Бохнера (152).
4. Преобразование Гильберта (153).
5. Голоморфные функции класса Hs (С) (154).
6. Обобщенное представление Коши-Бохнера (158).
§ 11. Ядро Пуассона и преобразование Пуассона
I. Определение и свойства ядра Пуассона (160).
2. Преобразование и представление Пуассона (162).
3. Граничные значения интеграла Пуассона (165).
§ 12. Алгебры голоморфных функций
1. Определение алгебр H+ (С) и Н (С) (168).
2. Изоморфизм алгебр ...(168).
3. Теорема Пейлн-Винера-Шварца и ее обобщения (174).
4. Пространство На (С) - проективный предел пространств На (С) (175).
5. Представление Шварца (177).
6. Одно обобщение теоремы Фрагмена-Линделёфа (179).
§ 13. Уравнения в сверточных алгебрах
1. Делители единицы в алгебрах Н+ (С) и Н (С) (180).
2. О делении на полином в алгебре Н (С) (181).
3. Оценки для голоморфных функций с неотрицательной мнимой частью в Тc (183).
4. Делители единицы в алгебре W (С) (186).
Глава III НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
§ 14. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами
I. Фундаментальные решения из D' (190).
2. Фундаментальные решения медленного роста (194).
3. Метод спуска (195).
4. Примеры (199).
5. Сравнение дифференциальных операторов (207)
6. Эллиптические и гипоэллиптические операторы (210).
7. Гиперболические операторы (212).
§ 15. Задача Коши 213
1. Обобщенная задача Коши для гиперболического уравнения (213).
2. Волновой потенциал (216).
3. Поверхностные волновые потенциалы (220).
4. Задача Коши для волнового уравнения (223).
5. Постановка обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводности (225).
6. Тепловой потенциал (225).
7. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (229).
§ 16. Голоморфные функции с неотрицательной мнимой частью
1. Предварительные замечания (230).
2. Оценки роста функций класса P+ (Tс) (233).
3. Оценки роста функций класса Н+ (Тс) (241).
4. Гладкость спектральной функции (242).
5. Индикатриса роста функций класса P+ (Tс) (244).
6. Интегральное представление функций класса Н+ (Тс) (248).
§ 17. Голоморфные функции с неотрицательной мнимой частью
1. Леммы (252).
2. Функции классов H+ (T1) и P+ (T1) (257).
3. Функции класса P+ (Тn) (262).
4. Функции класса H+ (Тn) (267).
§ 18. Положительно вещественные матрицы-функции в Тс
1. Положительно вещественные функции в Тс (272).
2. Положительно вещественные матрицы-функции в Тс (274).
§ 19. Линейные пассивные системы
1. Введение (277).
2. Следствия из условия пассивности (280).
3. Необходимые и достаточные условия пассивности (283).
4. Многомерные дисперсионные соотношения (288).
5. Фундаментальное решение и задача Коши (292).
6. Какие дифференциальные и разностные операторы являются пассивными операторами (295).
§ 20. Абстрактный оператор рассеяния
1. Определение и свойства абстрактной матрицы рассеяния (302).
2. Описание абстрактных матриц рассеяния (305).
3. Связь между пассивными операторами и операторами рассеяния (306).
Краткая аннотация книги
Кроме общей теории обобщенных функций, включающей преобразования Фурье и Лапласа, а также другие интегральные преобразования, в книге содержится ряд приложений к дифференциальным уравнениям в частных производных, голоморфным функциям многих комплексных переменных и математической физике, вплоть до некоторых последних достижений в этих областях.
Книга представляет собой расширенное изложение курсов лекций, читанных автором в течение ряда лет студентам, аспирантам и сотрудникам Московского физико-технического института и Математического интитута им. В. А. Стеклова, и предназначена для лиц, интересующихся приложениями обобщенных функций.
Прогресс физики требует для ее теоретической формулировки все более и более «высокой» математики. По этому поводу приведем одну фразу, высказанную английским физико-теоретиком П. Дираком в 1930 г. в известной статье (П. Дирак), в которой он теоретически предсказывал существование античастиц.
«Кажется вероятным, что этот процесс непрерывного абстрагирования будет продолжаться и в будущем и что успех физики должен в большей степени опираться на непрерывные модификации и обобщения аксиом на математической основе, чем на логическое развитие какой-либо одной ветви математики в фиксированных рамках».
Последующее развитие теоретической физики, особенно квантовой теории поля, полностью подтвердило это высказывание Дирака. В связи с этим уместно вспомнить слова Н. Н. Боголюбова, сказанные им в 1963 г.: «Основные понятия и методы квантовой теории поля становятся все более математическими». Построение и исследование математических моделей физических явлений составляет предмет математической физики.
Со времен Ньютона поиски и изучение математических моделей физических явлений - задач математической физики - требовали привлечения широкого арсенала математических средств и тем самым стимулировали развитие ряда разделов математики. Традиционная (классическая) математическая физика имеет дело с задачами классической физики: механики, гидродинамики, акустики, диффузии, теплопередачи, теории потенциала, электродинамики, оптики и т. д., сводящимися к краевым задачам для дифференциальных уравнений (уравнениям математической физики). Основным математическим средством исследования таких задач служит теория дифференциальных уравнений, а также родственные области математики: интегральные уравнения, вариационное исчисление, приближенные и численные методы. С появлением квантовой физики множество используемых математических средств значительно расширилось: наряду с традиционными областями математики стали широко применять теорию операторов, теорию обобщенных функций, теорию функций комплексных переменных, топологические и алгебраические методы, вычислительную математику и технику. В этом интенсивном взаимодействии теоретической физики и математики постепенно оформляется новая область - современная математическая физика.
Таким образом, в современной математической физике широко используются достижения современной математики. Одним из таких достижений является теория обобщенных функций. Эта монография и посвящена краткому изложению основ этой теории и некоторым применениям ее в математической физике.
В конце 20-х годов П. Дирак в своих квантовомеханических исследованиях впервые ввел в науку так называемую дельта-функцию. Вскоре математиками было указано, что с математической точки зрения это определение бессмысленно. Конечно, и самому Дираку было ясно, что дельта-функция не есть функция в классическом смысле понимаемая, и, что важно, она действует как оператор (точнее, как функционал). Потребовались ряд лет и усилия многих математиков, чтобы найти математически корректное определение дельта-функции, ее производных и вообще обобщенной функции.
Основы математической теории обобщенных функций были заложены советским математиком С. Л. Соболевым в 1936 г., где он успешно применил обобщенные функции к исследованию задачи Коши для гиперболических уравнений. В послевоенные годы французский математик Л. Шварц, опираясь на предварительно созданную теорию линейных локально-выпуклых топологических пространств, предпринял систематическое построение теории обобщенных функций и указал ряд важных приложений этой теории. Он изложил ее в своей известной монографии «Theorie des distributions» (1950-1951 гг.). В дальнейшем теория обобщенных функций интенсивно развивалась многими математиками. Бурное развитие теории обобщенных функций стимулировалось главным образом потребностями математической и теоретической физики, в особенности теории дифференциальных уравнений и квантовой физики. В настоящее время теория обобщенных функций далеко продвинута вперед, имеет многочисленные применения в физике и математике и прочно вошла в обиход физика, математика и инженера. Обобщенные функции обладают рядом замечательных свойств, расширяющих возможности классического математического анализа, например: любая обобщенная функция оказывается бесконечно дифференцируемой (в обобщенном смысле), сходящиеся ряды из обобщенных функций можно почленно дифференцировать бесконечное число раз, преобразование Фурье обобщенной функции всегда существует и т. д. Поэтому использование техники обобщенных функций существенно расширяет круг рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.
Эта монография является расширенным изложением курсов лекций, читанных мною в течение ряда лет студентам, аспирантам и сотрудникам Московского физико-технического института и Математического института им. В. А. Стеклова.
Пользуясь случаем, благодарю всех лиц, чья конструктивная критика способствовала улучшению изложения. В особенности я благодарен моим ученикам Ю. Н. Дрожжинову, В. В. Жаринову и Р. X. Галееву.
Первое издание этой книги быстро разошлось. При подготовке 2-го издания был учтен ряд замечаний, исправлены неточности и опечатки; часть материала была переработана и дополнена. Особенно большой переработке подвергся раздел, относящийся к теории голоморфных функций с неотрицательной мнимой частью в трубчатых областях над острыми конусами (§§ 16-18). В этот раздел включены новые результаты.
Январь 1978 г.
В. С. Владимиров
Примечание. Сохраняйте книги на планшет или смартфон и скачивайте их с Вашего AMP планшета или смартфона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный планшет или смартфон (в память устройства) и на Ваш компьютер через AMP интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.