Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
Ф. Олвер, Введение в асимптотические методы и специальные функции
• Бесплатно скачать книгу, 5.58 Мб, формат .djvu
ГЛАВА 1. Введение в асимптотические методы
§ 1. Происхождение асимптотических разложений
§ 2. Символы
§ 4. Интегрирование и дифференцирование асимптотических соотношений и 19 отношений порядка
§ 5. Асимптотическое решение трансцендентных уравнений: действительные 23 переменные
§ 6. Асимптотическое решение трансцендентных уравнений: комплексные переменные
§ 7. Определение и основные свойства асимптотических разложений
§ 8. Операции над асимптотическими разложениями
§ 9. Функции, имеющие заданные асимптотические разложения
§ 10. Обобщения определения Пуанкаре
§ 11. Анализ остаточных членов; вариационный оператор Исторические сведения и дополнительные ссылки
ГЛАВА 2. Введение в специальные функции
§ 1. Гамма-функция
§ 2. Пси-функция
§ 3. Интегральные функции: показательная, логарифмическая, синус и косинус
§ 4. Интеграл вероятностей, интеграл Досона и интегралы Френеля
§ 5. Неполная гамма-функция
§ 6. Ортогональные полиномы
§ 7. Классические ортогональные полиномы
§ 8. Интеграл Эйри
§ 9. Функция Бесселя Jv(z)
§ 10. Модифицированная функция Бесселя
§ 11. Дзета-функция
Исторические сведения и дополнительные ссылки
ГЛАВА 3. Интегралы в действительной области
§ 1. Интегрирование по частям
§ 2. Интегралы Лапласа
§ 3. Лемма Ватсона
§ 4. Лемма Римана - Лебега
§ 5. Интегралы Фурье 0
§ 6. Примеры; случаи, когда метотт неэффективен
§ 7. Метод Лапласа
§ 8. Асимптотические разложения на основеметода Лапласа; гамма-функция при больших значениях аргумента
§ 9. Оценки остаточных членов для леммы Ватсона и метода Лапласа
§ 10. Примеры
§ 11. Метод стационарной фазы
§ 12. Предварительные леммы
§ 13. Асимптотическая природа метода стационарной фазы
§ 14. Асимптотические разложения на основе метода стационарной фазы
ГЛАВА 4. Контурные интегралы
§ 1. Интеграл Лапласа с комплексным параметром
§ 2. Неполная гамма-функция комплексного аргумента
§ 3. Лемма Ватсона
§ 4. Интеграл Эйри с комплексным аргументом; составные асимптотические разложения
§ 5. Отношение двух гамма-функций; лемма Ватсона для интегралов по петле
§ 6. Метод Лапласа для контурных интегралов
§ 7. Точки перевала
§ 8. Примеры
§ 9. Функции Бесселя при больших значениях аргумента и порядка
§ 10. Оценки остаточного члена для метода Лапласа; метод наискорейшего спуска
ГЛАВА 5. Дифференциальные уравнения с регулярными особыми точками; гипергеометрическая функция и функции Лежандра
§ 1. Теорема существования для линейных дифференциальных уравнений: действительные переменные
§ 2. Уравнения, содержащие действительный или комплексный параметр
§ 3. Теоремы существования для линейных дифференциальных уравнений: комплексные переменные
§ 4. Классификация особых точек; свойства решений в окрестности регулярной особой точки
§ 5. Второе решение в случае, когда разность показателей равна целомучислу или нулю
§ 6. Большие значения независимой переменной
§ 7. Численно удовлетворительные решения
§ 8. Гипергеометрическое уравнение
§ 9. Гипергеометрическая функция
§ 10. Другие решения гипергеометрического уравнения
§ 11. Обобщенные гипергеометрические функции
§ 12. Присоединенное уравнение Лежандра
§ 13. Функции Лежандра при произвольных значениях степени и порядка
§ 14. Функции Лежандра при целых значениях степени и порядка
§ 15. Функции Феррерса Исторические сведения и дополнительные ссылки
ГЛАВА 6. Приближение Лиувилля-Грина
§ 1. Преобразование Лиувилля
§ 2. Оценки остаточных членов: действительные переменные
§ 3. Асимптотические свойства относительно независимой переменной
§ 4. Сходимость 13 (F) в особой точке
§ 5. Асимптотические свойства относительно параметров
§ 6. Пример: функции параболического цилиндра при больших значениях порядка
§ 7. Одно специальное обобщение
§ 8. Нули
§ 9. Задачи на собственные значения
§ 10. Теоремы о сингулярных интегральных уравнениях
§11. Оценки остаточных членов: комплексные переменные
§ 12. Асимптотические свойства в случае комплексных переменных
§ 13. Выбор поступательных путей
ГЛАВА 7. Дифференциальные уравнения с иррегулярными особыми точками; функции Бесселя и вырожденная гипергеометрическая функция
§ 1. Решения в виде формальных рядов
§ 2. Асимптотическая природа формальных рядов
§ 3. Уравнения, содержащие параметр
§ 4. Функция Ганкеля; явление Стокса
§ 5. Функция Yv(z)
§ 6. Нули функция Jv(z)
§ 7. Нули функции Yv(z) и других цилиндрических функций
§ 8. Модифицированные функции Бесселя
§ 9. Вырожденное гипергеометрическое уравнение
§ 10. Асимптотические решения вырожденного гипергеометрического уравнения
§ 11. Функции Уиттекера
§ 12. Оценки остаточного члена для асимптотических решений в общем случае
§ 13. Оценки остаточного члена для разложений Ганкеля
§ 14. Неоднородные уравнения
§ 15. Уравнение Струве
Краткая аннотация книги
Книга известного американского математика профессора Ф. У. Дж. Олвера посвящена двум областям анализа - теории асимптотических разложений и теории специальных функций. Она отличается своеобразным переплетением этих теорий, обстоятельностью изложения и сравнительной элементарностью.
В США книга вышла в двух вариантах. Первый, полный, содержащий 14 глав, во многих отношениях дополняет ряд известных монографий, посвященных асимптотике и специальным функциям. Второй, сокращенный - первые 7 глав предназначены в качестве учебного пособия для лиц, желающих начать изучение асимптотических методов и специальных функций. Последний вариант и предлагается вниманию читателей. Удачная структура книги, интересные примеры и задачи, а также исторические сведения и литературные ссылки, содержащиеся в каждой главе, облегчают изучение книги. Эти обстоятельства позволяют надеяться, что предлагаемый труд Ф. У. Дж. Олвера будет с интересом встречен широким кругом советских читателей - научных работников, аспирантов, инженеров и студентов высших учебных заведений.
Классический анализ является основой многих ветвей прикладной математики. Цель этой книги - дать всестороннее введение в два раздела классического анализа, упомянутые в заглавии. Она адресована математикам, физикам и инженерам и может служить как основой для изучения предмета, так и справочником для научной работы. Книга базируется частично на курсе, прочитанном в Мэрилендском университете.
Первоначально я намеревался уделить все внимание асимптотическим методам, приводя, если это необходимо, свойства специальных функций. Этот подход был бы удовлетворительным, если бы эти функции использовались лишь в качестве иллюстрирующих примеров. Но решение более сложных задач теории асимптотических разложений, особенно связанных с равномерностью, сделало необходимым исследование специальных функций в качестве приближающих функций. По мере того, как книга писалась, становилось все яснее, что будет нереалистичным предполагать наличие у студентов достаточных знаний необходимых свойств специальных функций. Поэтому содержание книги расширено так, что асимптотическая теория теперь тесно переплетается с систематическим изложением теории наиболее важных специальных функций. Это переплетение находится в полном согласии с историческим развитием и ведет к более глубокому пониманию не только асимптотики, но также и специальных функций. Почему, например, рассматривают четыре стандартных решения дифференциального уравнения Бесселя, если любое решение можно записать в виде линейной комбинации независимой пары решений? Удовлетворительного ответа на этот вопрос нельзя дать, не будучи знакомым с асимптотической теорией линейных дифференциальных уравнений.
Второй особенностью, отличающей эту книгу от существующих монографий, является рассмотрение оценок остаточных членов, или методов получения таких оценок, для большинства приближений и разложений. Эффективные оценки имеют очевидную важность в приложениях. Они также дают возможность заглянуть в природу и в надежность асимптотических приближений, особенно когда имеется более чем одна переменная, и этим часто исключают необходимость в несколько неудовлетворительном понятии обобщенных асимптотических разложений. Методы анализа остаточных членов развиваются систематически лишь в течение последних десяти лет, и многие результаты, изложенные в этой книге, ранее не публиковались.
Содержание глав распределено следующим образом. В главе 1 введены основные понятия и определения асимптотической теории. Теория асимптотических разложений для определенных интегралов, содержащих параметр, изложена в главах 3, 4 и 9, для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений - в главах 6, 7, 10-13; для рядов и последовательностей - в главе 8. Специальные функции вводятся в главе 2 и их свойства излагаются в большинстве последующих глав, особенно в главах 4, 5, 7, 8, 10-12. В главе 5 дано также введение в аналитическую теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Наконец, в главе 14 кратко рассмотрены методы оценки остатков в асимптотических приближениях и разложениях.
Вводный курс, занимающий один семестр, может быть основан на главах 1-3, а также на первых частях глав 4-7'). Оставшимся главам можно посвятить второй семестр; отбор материала преподавателем зависит от того, на чем желательно сосредоточить внимание - на специальных функциях или на асимптотике. Предварительным требованием является хорошее знание основных понятий современного анализа и теории функций комплексной переменной. Предварительные знания обыкновенных дифференциальных уравнений полезны, но не обязательны. Курс теории функций действительной переменной не является необходимым; все встречающиеся интегралы являются интегралами Римана. Звездочка *, поставленная у номеров некоторых параграфов и пунктов, означает, что изложенный в них материал может быть пропущен без ущерба для понимания дальнейшего материала. Почти во всех главах имеются примеры и более чем 500 упражнений существенно различной сложности. Некоторые из этих упражнений являются иллюстративными, другие содержат обобщения теории или свойства специальных функций, которые важны, но выводятся непосредственно. Учащемуся настоятельно рекомендуется после изучения параграфа прочитать все упражнения, независимо от того, будет он их делать или нет. Предупреждающие звездочки относятся к тем упражнениям, решение которых отличается повышенной трудностью или требует большой затраты времени. Все главы заканчиваются коротким параграфом, озаглавленным "Исторические сведения и дополнительные ссылки". Здесь указаны источники, на которых основан материал, изложенный в главе, и упомянуты работы, где можно найти дальнейшую информацию.
Библиография помещена в конце книги. Особенно я в долгу перед превосходными книгами де Брейна, Копсона, Джеффриса и Свирлс, Эрдейи, Ватсона, Уиттекера и Ватсона, а также обширными справочниками, опубликованными по проекту Бейтмена и Национальным Бюро стандартов. Ценные замечания относительно первых вариантов книги сделали Дж. Ф. Миллер (Национальная физическая лаборатория) и Ф. Стенджер (Университет штата Ута), которые полностью прочитали рукопись, а также Р. Б. Дингл (Университет Св. Эндрюса), У. Г. Рейд (Чикагский университет) и Ф. Урселл (Манчестерский университет), прочитавшие некоторые главы. Р. Э. Аски (Висконсинский университет) прочитал окончательный вариант, и среди его полезных замечаний были различные дополнительные ссылки. Мне доставляет удовольствие выразить им всем свою благодарность; я благодарен также миссис Линде Ло, печатавшей варианты книги и помогавшей при корректуре, и сотрудникам издательства Academic Press. Кроме того, я признателен за неустанные усилия моей жене Грейс, которая проводила все численные расчеты, печатала первоначальный вариант и помогала при чтении корректуры.
Примечание. Сохраняйте книги на планшет или смартфон и скачивайте их с Вашего AMP планшета или смартфона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный планшет или смартфон (в память устройства) и на Ваш компьютер через AMP интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.