AMP :: Е.И. Несис, Методы математической физики - скачать книги :: Математическая физика, специальные функции

Глава I. Скалярные, векторные и тензорные поля на плоскости
§ 1. Скалярное поле и векторное поле его градиента
§ 2. Аналитическое определение понятия вектора
§ 3. Векторные поля и их дифференциальная характеристика
§ 4. Тензоры и их свойства
§ 5. Тензорная алгебра
§ 6. Теизор как аффинор
§ 7. Главные направления тензора
§ 8. Тензорный эллипс

Глава II. Ортогональные векторы и тензоры в трехмерном и многомерном евклидовых пространствах. Векторный анализ
§ 1. Векторы и тензоры в n-мерном пространстве
§ 2. Тензор деформации
§ 3. Тензор напряжений
§ 4. Тензор инерции
§ 5. Скалярный и векторный инварианты тензора-производной векторного поля
§ 6. Физический и аналитический смысл дивергенции векторного поля
§ 7. Физический и аналитический смысл ротора векторного поля
§ 8. Оператор Гамильтона ("Набла"-исчисление)
§ 9. Формула Грина
§ 10. Классификация векторных полей
§ 11. Физические векторные и тензорные поля в четырехмерном пространстве-времени

Глава III. Теория поля в криволинейных системах координат
§ 1. Криволинейные координаты
§ 2. Коэффициенты Лямэ
§ 3. Основные дифференциальные операции в криволинейных координатах

Часть вторая. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Глава I. Вывод основных дифференциальных уравнений математической физики. Общий интеграл этих уравнений
§ 1. Поперечные колебания струны. Волновое уравнение
§ 2. Уравнение теплопроводности
§ 3. Основное уравнение электростатики
§ 4. Уравнение переменного электромагнитного поля в потенциалах
§ 5. Уравнение Шредиигера
§ 6. Понятие об общем интеграле уравнения в частных производных
§ 7. Колебания бесконечной струны

Глава II. Нахождение частных решений уравнений в частных производных путем разделения переменных
§ 1. Охлаждение стержня конечной длины
§ 2. Колебания струны конечной длины
§ 3. Решение задачи Дирихле для круга
§ 4. Стационарное распределение температуры в прямоугольном брусе
§ 5. Охлаждение тонкой пластины
§ 6. Охлаждение бесконечного стержня

Глава III. Интегрирование уравнений математической физики в цилиндрической системе координат
§ 1. Решение уравнения Лапласа в цилиндрических координатах. Уравнение Бесселя
§ 2. Решение уравнения Бесселя. Функции Бесселя
§ 3. Решение задачи Дирихле для цилиндра

Глава IV. Интегрирование уравнений математической физики в сферической системе координат
§ 1. Решение уравнения Лапласа в сферических координатах. Уравнение Лежандра
§ 2. Решение уравнения Лежандра
§ 3. Полиномы Лежандра
§ 4. Сферические и шаровые функции
§ 5. Стационарное распределение температуры в шаре

Глава V. Метод функций Грина
§ 1. Метод Грина решения краевых задач
§ 2. Функция Грина для шара
§ 3. Функция Грина для полупространства

Часть третья. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Глава I. Элементы линейной алгебры
§ 1. Линейное векторное пространство
§ 2. Размерность линейного просграиства
§ 3. Евклидово пространство
§ 4. Комплексное линейное пространство

Глава II. Аффинные преобразования
§ 1. Лииейиые операторы и операции над ними
§ 2. Матричная алгебра
§ 3. Исследование линейных преобразований с помощью матриц. Характеристический многочлен
§ 4. Линейные преобразования в унитарном пространстве
§ 5. Линейные операторы в действительном евклидовом пространстве

Краткая аннотация книги

В книге изложен учебный материал по математической теории поля, дифференциальным уравиеииям в частных производных и линейной алгебре в объеме, соответствующем учебной программе по курсу "Методы математической физики" для физико-математических факультетов.

Физика в своем историческом развитии постепенно превращалась из науки описательной в науку точную. Для характеристики различных явлений и процессов, происходящих в природе и технике, физики все шире используют математические методы, или, как принято говорить, соответствующий математический аппарат. Для этой цели пришлось прежде всего ввести меру каждого физического свойства. Пока физики имели дело с простейшими свойствами тел, в качестве меры каждого из них можно было ограничиться скалярными величинами, обычно показывающими, во сколько раз мера данного свойства у рассматриваемого тела больше некоторого единичного масштаба. Так были введены такие скалярные величины, как длина, площадь, объем, масса, время, температура, электрический заряд, энергия и т.п. Со временем выяснилось, что для количественного описания быстроты движения, изменения этой быстроты, взаимодействия тел и т. п. скалярные величины не подходят. В этих случаях оказались пригодными более сложные математические величины-направленные отрезки, или векторы.

В конце XIX века физикам стало ясно, что для характеристики деформаций, инерции при вращательном движении, усилий в деформированных твердых телах и т. п. необходимы величины еще более сложной математической природы - тензоры. С другой стороны, развитие количественных методов показало, что одно и то же физическое свойство в разных точках исследуемого объекта может принимать различные значения, и поэтому для математического описания необходимо знать совокупность значений соответствующей величины во всех точках рассматриваемого объекта. Так в физике постепенно сложилось представление о математическом поле-области пространства, каждой точке которого соответствует определенное значение некоторой физической величины.

Поля бывают скалярные, векторные и тензорные. Каждое из них, в свою очередь, может быть стационарным (если физическая величина в каждой точке области со временем не меняется) или нестационарным. Ясно, что стационарное поле есть функция координат х, у, z точек пространства, а нестационарное поле представляет собой функцию четырех переменных: координатах, времени t.

Введение понятия поля сыграло в физике такую же прогрессивную роль, как в свое время появление в математике понятия переменной величины. Основная задача математической физики - это аналитическое исследование скалярных, векторных и тензорных полей физических величин. В математической физике рассматриваются две проблемы - прямая и обратная.

Прямая проблема состоит в следующем. Задано правило определения интересующей нас физической величины в любой точке пространства, т. е. задано поле; требуется установить характер этого поля, т. е. быстроту его изменения от точки к точке. Изучением дифференциальных свойств различных полей занимается математическая теория поля.

Обратная проблема состоит в нахождении некоторой физической величины, т. е. конкретного вида математического поля, если известны условия, в которых находится физический объект. Приведем пример. Пусть сплошной металлический цилиндр касается нижним основанием горячей воды, а остальная его поверхность окружена холодным воздухом. Физически ясно, что внутри цилиндра вследствие теплопроводности материала установится тепловое равновесие и образуется стационарное скалярное поле температур Т = Т(х, у, z). Вид этого поля можно определить аналитически.

В общем случае любое физическое явление или процесс представляет собой изменение каких-либо физических величин (скалярных, векторных, тензорных) в пространстве и во времени. Поэтому математическое поле, вообще говоря, описывается функциями четырех независимых переменных х, у, z, t. И задача состоит в нахождении этих функций.

Для нахождения неизвестных функций нужно, исходя из управляющих данным физическим явлением закономерностей, составить функциональные уравнения, решая которые можно будет найти искомые функции. По причинам, которые мы выясним ниже, эти функциональные уравнения обычно представляют собой своеобразные дифференциальные уравнения, в которых искомая функция зависит от нескольких переменных. Изучением методов составления и, главное, интегрирования уравнений такого рода занимается вторая часть математической физики - теория дифференциальных уравнений в частных производных.

Совокупность теории поля н теории дифференциальных уравнений в частных производных образует так называемую классическую математическую физику. Однако за последние несколько десятков лет в связи с успехами теории относительности и открытием качественно новых, квантовых свойств у микрочастиц (молекул, атомов, ядер, электронов и т. п.) задачи математической физики значительно расширились: появилась необходимость в изучении полей комплексных величин в комплексном пространстве, в использовании для их исследования не только методов математического анализа, но и сравнительно новой математической науки-линейной алгебры, являющейся своеобразным сочетанием алгебраической теории систем уравнений первой степени и аналитической геометрии n-мерных плоских пространств. Этим вопросам посвящена третья часть предлагаемого пособия.

Примечание. Сохраняйте книги на планшет или смартфон и скачивайте их с Вашего AMP планшета или смартфона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный планшет или смартфон (в память устройства) и на Ваш компьютер через AMP интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.

AMP версия сайта
Мобильная версия

Сайт для компьютера
http://www.mat.net.ua