AMP :: :: Математическое программирование

1. Линейное программирование
1.1. Примеры экономических задач линейного программирования И
1.2. Формы записи задачи линейного программирования, их эквивалентность и способы преобразования
1.3. Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования
1.4. Свойства решений задачи линейного программирования
1.5. Симплексный метод
2. Двойственность в линейном программировании
2.1. Понятие двойственности Построение двойственных задач и их свойства
2.2. Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание
3. Элементы теории матричных игр
3.1. Матричные игры с нулевой суммой
3.2. Чистые и смешанные стратегии и их свойства
3.3. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования
3.4. Статистические игры Критерии для принятия решений
4. Программирование на сетях
4.1. Основные понятия теории графов
4.2. Матричные способы задания графов Упорядочение элементов орграфа Алгоритм Фалкерсона
4.3. Потоки на сетях Постановка задачи о максимальном потоке
4.4. Разрез на сети Теорема Форда - Фалкерсона
4.5. Алгоритм решения задачи о максимальном потоке
4.6. Приложения задачи о максимальном потоке
4.7. Элементы сетевого планирования
5. Транспортная задача
5.1. Постановка транспортной задачи по критерию стоимости в матричной форме
5.2. Закрытая и открытая модели транспортной задачи
5.3. Построение исходного опорного плана
5.4. Метод потенциалов
5.5. Решение транспортной задачи с открытой моделью
6. Дискретное программирование
6.1. Классические задачи целочисленного программирования и краткая классификация методов их решения
6.2. Метод отсечения
6.3. Метод ветвей и границ
7. Выпуклое программирование
7.1. Математические основы выпуклого программирования
7.2. Задача выпуклого программирования
7.3. Метод множителей Лаграижа Экономический смысл множителей Лагранжа
7.4. Градиентные методы
7.5. Теорема Куна - Таккера
7.6. Задача квадратичного программирования и ее решение
7.7. Методы штрафных и барьерных функций
7.8. Понятие о методе линейной аппроксимации
8. Элементы динамического программирования
8.1. Примеры задач динамического программирования, их особенности и геометрическая интерпретация
8.2. Принципы динамического программирования Функциональные уравнения Беллмана
8.3. Решение экономических задач методом динамического программирования
9. Параметрическое программирование
9.1. Производственные проблемы, приводящие к задачам линейного параметрического программирования
9.2. Линейное программирование с целевой функцией, зависящей от параметра
10. Стохастическое программирование
10.1. Понятие о стохастических задачах и стохастическом программировании
10.2. Одношаговые и многошаговые стохастические задачи производственного характера

Краткая аннотация книги

Данная книга посвящена математическому программированию - области математики, разрабатывающей теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных. В отличие от классической теории экстремальных задач, которая является частью математического программирования, основное внимание в математическом программировании уделяется тем задачам, в которых активно участвуют ограничения на область изменения переменных. Создание методов математического программирования связано с насущными потребностями планирования и организации производства.

При изучении математического программирования студенту потребуется знание общего курса высшей математики, теории вероятностей, математической статистики. Он должен свободно владеть математическим аппаратом, необходимым для решения теоретических и практических задач экономики и планирования. Кроме того, от него потребуются знания и навыки по программированию на компьютерах, а также умение пользоваться персональными компьютерами.

Поскольку выпускники вузов по экономическим специальностям в последующей практической деятельности будут встречаться с математическими методами оптимизации главным образом как пользователи, а не разработчики, в данном учебнике основное внимание уделяется приложениям математических методов в экономике, а не их подробному теоретическому обоснованию. По этой причине в учебнике приводится достаточное количество содержательных примеров, иллюстрирующих приемы математического моделирования экономических ситуаций с последующим экономическим анализом полученных результатов.

Предмет математического программирования. Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится отыскивать наилучшие в некотором смысле при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. До недавнего времени большинство таких задач решалось исходя из здравого смысла и опыта лиц, принимающих решения, или просто "на глаз". При таком подходе не было и не могло быть никакой уверенности, что найденный вариант - наилучший. При современных масштабах производства даже незначительные ошибки оборачиваются громадными потерями. В связи с этим возникла необходимость применять для анализа и синтеза экономических ситуаций и систем математические методы и современную вычислительную технику. Такие методы объединяются под общим названием - математическое программирование.

Математическое программирование - область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных. Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель.

Математическая модель задачи - это отражение оригинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т.д. Модель задачи математического программирования включает: совокупность неизвестных величин, действуя на которые, систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.); целевую функцию (функцию цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал задачи и др.). Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант из множества возможных. Наилучший вариант доставляет целевой функции экстремальное значение. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, отходы и т.д.; условия (или систему ограничений), налагаемые на неизвестные величины. Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов.

Если целевая функция и функции ограничений, входящие в систему ограничений, линейны (первой степени) относительно входящих в задачу неизвестных, то такой раздел математического программирования называется линейным программированием (ЛП). Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации процессов во всех отраслях народного хозяйства: при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполнителям, при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспективного, текущего и оперативного планирования и управления; при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах развития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т. д. Особенно широкое применение методы и модели линейного программирования получили при решении задач экономии ресурсов (выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов), производственно-транспортных и других задач.

Начало линейному программированию было положено в 1939 г. советским математиком-экономистом Л. В. Канторовичем в работе "Математические методы организации и планирования производства". Появление этой работы открыло новый этап в применении математики в экономике. Спустя десять лет американский математик Дж. Данциг разработал эффективный метод решения данного класса задач - симплекс-метод. Термин "линейное программирование" впервые появился в 1951 г. в работах Дж. Данцига и Т. Купманса. Линейное программирование и межотраслевой баланс характеризуют линейные взаимосвязи элементов народного хозяйства. Однако при более глубоком исследовании в ряде задач появляются и связи нелинейного характера, когда с изменением одного элемента другие изменяются непропорционально первому. Поэтому вслед за разработкой моделей линейного программирования начались интенсивные исследования нелинейных моделей.

Примечание. Сохраняйте книги на планшет или смартфон и скачивайте их с Вашего AMP планшета или смартфона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный планшет или смартфон (в память устройства) и на Ваш компьютер через AMP интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.

AMP версия сайта
Мобильная версия

Сайт для компьютера
http://www.mat.net.ua