Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
Н.Н. Калинтин, Численные методы
• Бесплатно скачать книгу, 10.01 Мб, формат .djvu
Или скачать эту книгу одним файлом 4.90 Мб
Базовый очень популярный курс численных методов
Глава I. Что такое численные методы?
1. Решение задачи (13)
2. Численные методы (15)
3. История прикладной математики (16)
§ 2.Приближенный анализ
1. Понятие близости (17)
2. Структура погрешности (22)
3. Корректность (24)
Глава II. Аппроксимация функций
§ 1. Интерполирование
1. Приближенные формулы (27)
2. Линейная интерполяция (27)
3. Интерполяционный многочлен Ньютона (29)
4. Погрешность многочлена Ньютона (31)
5. Нрименения интерполяции (34)
6. Интерполяционный многочлен Эрмита (36)
7. Сходимость интерполяции (39)
8. Нелинейная интерполяция (41)
9. Интерполяция сплайнами (44)
10. Монотонная интерполяция (46)
11. Многомерная интерполяция (47)
§ 2.Среднеквадратичное приближение
1. Наилучшее приближение (51)
2. Линейная аппроксимация (53)
3. Суммирование рядов Фурье (56)
4. Метод наименьших квадратов (59
5. Нелинейная аппроксимация (62)
§ 3.Равномерное приближение
1. Наилучшие приближения (66)
2. Нахождение равномерного приближения (68)
Глава III. Численное дифференцирование
1. Полиномиальные формулы (70)
2. Простейшие формулы (72)
3. Метод Рунге-Ромберга (74)
4. Квазиравномерные сетки (78)
5. Быстропеременные функции (80)
6. Регуляризация дифференцирования (81)
Глава IV. Численное интегрирование
§ 1. Полиномиальная аппроксимация
1. Постановка задачи (85).
2. Формула трапеций (86)
3. Формула Симпсона (88)
4. Формула средних (89)
5. Формула Эйлера (91)
6. Процесс Эйткена (92)
7. Формулы Гаусса-Кристоффеля (94)
8. Формулы Маркова (97)
9. Сходимость квадратурных формул (98)
§ 2.Нестандартные формулы
1. Разрывные функции (100)
2. Нелинейные формулы (100)
3. Метод Филона (103)
4. Неременный предел интегрирования (105)
5. Несобственные интегралы (105)
§ 3.Кратные интегралы
1. Метод ячеек (108)
2. Последовательное интегрирование (111)
§ 4.Метод статистических испытаний
1. Случайные величины (113)
2. Разыгрывание случайной величины (114)
3. Вычисление интеграла (117)
4. Уменьшение дисперсии (119)
5. Кратные интегралы (121)
6. Другие задачи (123)
Глава V. Системы уравнений
§ 1. Линейные системы
1. Задачи линейной алгебры (126)
2. Метод исключения Гаусса (128)
3. Определитель и обратная матрица (130)
4. 0 других прямых методах (132)
5. Нрогонка (132)
6. Метод квадратного корня (135)
7. Плохо обусловленные системы (137)
§ 2.Уравнение с одним неизвестным
1. Исследование уравнения (138)
2. Дихотомия (139)
3. Удаление корней (140)
4. Метод простых итераций (141)
5. Метод Ньютона (143)
6. Процессы высоких порядков (145)
7. Метод секущих (145)
8. Метод парабол (146)
9. Метод квадрирования (148)
§ 3.Системы нелинейных уравнений
1. Метод простых итераций (150)
2. Метод Ньютона (152)
3. Метод спуска (153)
4. Итерационные методы решения линейных систем (153)
Глава VI. Алгебраическая проблема собственных значений
§ 1. Проблема и простейшие методы
1. Элементы теории (156)
2. Устойчивость (159)
3. Метод интерполяции (162)
4. Трехдиагональные матрицы (164)
5. Почти треугольные матрицы (165)
6. Обратные итерации (166)
§ 2.Эрмитовы матрицы
1. Метод отражения (170)
2. Прямой метод вращении (175)
3. Итерационный метод вращении (177)
§ 3.Неэрмитовы матрицы
1. Метод элементарных преобразований (181)
2. Итерационные методы (186)
3. Некоторые частные случаи (187)
§ 4.Частичная проблема собственных значений
1. Особенности проблемы (189)
2. Метод линеаризации (189)
3. Степенной метод (190)
4. Обратные итерации со сдвигом (191)
Глава VII. Поиск минимума
1. Постановка задачи (194)
2. Золотое сечение (196)
3. Метод парабол (198)
4. Стохастические задачи (200)
§ 2.Минимум функции многих переменных
1. Рельеф функции (201)
2. Спуск по координатам (203)
3. Наискорейший спуск (207)
4. Метод оврагов (209)
5. Сопряженные направления (210)
6. Случайный поиск (214)
§ 3.Минимум в ограниченной области
1. Формулировка задачи (215)
2. Метод штрафных функций (216)
3. Линейное программирование (217)
4. Симплекс-метод (220)
5. Регуляризация линейного программирования (221)
§ 4.Минимизация функционала
1. Задачи на минимум функционала (223)
2. Метод пробных функций (226)
3. Метод Ритца (230)
4. Сеточный метод (240)
Глава VIII. Обыкновенные дифференциальные уравнения
§ 1. Задача Коши
1. Постановка задачи (237)
2. Методы решения (238)
3. Метод Пикара (240)
4. Метод малого параметра (242)
5. Метод ломаных (243)
6. Метод Рунге-Кутта (246)
7. Метод Адамса (250)
8. Неявные схемы (252)
9. Специальные методы (353)
10. Особые точки (257)
11. Сгущение сетки (258)
§ 2.Краевые задачи
1. Постановки задач (261)
2. Метод стрельбы (262)
3. Уравнения высокого порядка (266)
4. Разностный метод; линейные задачи (268)
5. Разностный метод; нелинейные задачи (271)
6. Метод Галеркина (276)
7. Разрывные коэффициенты (279)
§ 3.Задачи на собственные значения
1. Постановка задач (280)
2. Метод стрельбы (281)
3. Фазовый метод (282)
4. Разностный метод (284)
5. Метод дополненного вектора (286)
6. Метод Галеркина (288)
Глава IХ. Уравнения в частных производных
1. О постановках задач (290)
2. Точные методы решения (292)
3. Автомодельность и подобие (294);
4. Численные методы (296)
§ 2.Аппроксимация
1. Сетка и шаблон (299)
2. Явные и неявные схемы (301)
3. Невязка (302)
4. Методы составления схем (303)
5. Аппроксимация и ее порядок (307)
§ 3.Устойчивость
1. Неустойчивость (311)
2. Основные понятия (312)
3. Нринцип максимума (315)
4. Метод разделения переменных (318)
5. Метод энергетических неравенств (322)
6. Операторные неравенства (323)
§ 4.Сходимость
1. Основная теорема (324)
2. Оценки точности (327)
3. Сравнение схем на тестах (331)
Глава X. Уравнение переноса
1. Задачи и решения (334)
2. Схемы бегущего счета (336)
3. Геометрическая интерпретация устойчивости (341)
4. Многомерное уравнение (344)
5. Перенос с поглощением (346)
6. Монотонность схем (348)
7. Диссипативные схемы (351)
§ 2.Квазилинейное уравнение
1. Сильные и слабые разрывы (354)
2. Однородные схемы (357)
3. Нсевдовязкость (359)
4. Ложная сходимость (362)
5. Консервативные схемы (363)
Глава ХI. Параболические уравнения
§ 1. Одномерные уравнения
1. Постановки задач (368)
2. Семейство неявных схем (369)
3. Асимптотическая устойчивость неявной схемы (374)
4. Монотонность (376)
5. Явные схемы (378)
6. Паилучшая схема (380)
7. Криволинейные координаты (384)
8. Квазилинейное уравнение (386)
§ 2.Многомерное уравнение
1. Экономичные схемы (389)
2. Продольно-поперечная схема (391)
3. Локально-одномерный метод (394)
4. Метод Монте-Карло (399)
Глава ХII. Эллиптические уравнения
§ 1. Счет на установление
1. Стационарные решения эволюционных задач (401)
2. Оптимальный шаг (404)
3. Чебышевский набор шагов (409)
§ 2.Вариационные и вариационно-разностные методы
1. Метод Ритца (413)
2. Стационарные разностные схемы (414)
3. Прямые методы решения (415)
4. Итерационные методы (420)
Глава ХIII. Гиперболические уравнения
§ 1. Волновое уравнение
1. Схема "крест" (424)
2. Неявная схема (427)
3. Двуслойная акустическая схема. (429)
4. Инварианты (434)
5. Явная многомерная схема (435)
6. Факторизованные схемы (436)
§ 2.Одномерные уравнения газодинамики
1. Лагранжева форма записи (439)
2. Псевдовязкость (442)
3. Схема "крест" (444)
4. Пеявная консервативная схема (447)
5. 0 других схемах (450)
Глава XIV. Интегральные уравнения
§ 1. Корректно поставленные задачи
1. Постановки задач (452)
2. Разностный метод (455)
3. Метод последовательных приближений (458)
4. Замена ядра вырожденным (460)
5. Метод Галеркина (461)
§ 2. Некорректные задачи
1. Регуляризация (462)
2. Вариационный метод регуляризации (465)
3. Уравнение Эйлера (469)
4. Пекоторые приложения (473)
5. Разностные схемы (476)
Глава XV. Статистическая обработка эксперимента
1. Ошибки эксперимента (480)
2. Величина и доверительный интервал (482)
3. Сравнение величин (490)
4. Нахождение стохастической зависимости (494)
Приложение
Ортогональные многочлены
Краткая аннотация книги
В книге излагаются основные численные методы решения широкого круга математических задач, возникающих при исследовании физических и технических проблем. Изложенные методы пригодны как для расчетов на ЭВМ, так и для "ручных" расчетов. Для каждого метода даны практические рекомендации по применению. Для лучшего понимания алгоритмов приведены примеры численных расчетов. Книга предназначена для студентов, аспирантов В преподавателей университетов и технических институтов, научных работников и инженеров-исследователей, а также для всех, имеющих дело с численными расчетами.
Современное развитие физики и техники тесно связано с использованием электронных вычислительных машин (компьютеров). В настоящее время компьютеры стали обычным оборудованием многих институтов и конструкторских бюро. Это позволило от простейших расчетов и оценок различных конструкций или процессов перейти к новой стадии работы - детальному математическому моделированию (вычислительному эксперименту), которое существенно сокращает потребность в натурных экспериментах, а в ряде случаев может их заменить.
В основе вычислительного эксперимента лежит решение уравнений математической модели численными методами. Изложению численных методов посвящено немало книг. Однако большинство этих книг ориентировано на студентов и научных работников математического профиля. Поэтому в настоящее время ощущается потребность в книге, рассчитанной на широкий круг читателей различных специальностей и сочетающей достаточную полноту изложения с разумной степенью строгости при умеренном объеме.
Предлагаемая книга отвечает этим требованиям. Она достаточно полно освещает тот круг вопросов, знание которого наиболее часто требуется в практике вычислений, и содержит ряд разделов, которые редко включают в учебные пособия. Умеренный объем достигнут за счет тщательного отбора материала и включения в книгу только наиболее эффективных и часто используемых на практике методов. Материал изложен четко и сжато, при этом большое внимание уделено рекомендациям по практическому применению алгоритмов; изложение пояснено рядом примеров. Для обоснования алгоритмов использован несложный математический аппарат, знакомый студентам физических и инженерных специальностей.
Книга рассчитана на читателя, который занимается не столько разработкой численных методов, сколько их применением к прикладным проблемам. Однако в процессе работы над книгой читатель знакомится с основными идеями построения вычислительных алгоритмов и с их обоснованием и приобретает знания, достаточные для разработки новых алгоритмов. Эта книга является по существу введением в численные методы. Овладев ею, читатель затем может углубить свои знания, обратившись к руководствам по теории разностных схем и по методам численного решения отдельных классов задач.
Книга написана специалистом по теоретической и математической физике. Она возникла в результате работы автора над рядом актуальных проблем физики в Институте прикладной математики АН СССР (Академия Наук РФ) и преподавания на физическом факультете МГУ. Несомненно, книга окажется полезной широкому кругу читателей - студентам, аспирантам, научным сотрудникам и инженерам математических, физических и технических специальностей. А. А. Самарский
Сложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических и технических проблем, можно разбить на ряд элементарных-таких как вычисление интеграла, решение дифференциального уравнения и т. п. Многие элементарные задачи являются несложными и хорошо изучены. Для этих задач уже разработаны методы численного решения, и нередко имеются стандартные программы решения их на ЭВМ. Есть и достаточно сложные элементарные задачи; методы решения таких задач сейчас интенсивно разрабатываются (например, решение уравнений бесстолкновительной плазмы).
Поэтому полная программа обучения численным методам должна состоять из ряда этапов. Во-первых, это освоение логарифмической линейки, клавишных вычислительных машин и программирования на ЭВМ. Во-вторых, основы численных методов, содержащие изложение классических элементарных задач (включая основные сведения о разностных схемах). В-третьих, курс теории разностных схем. И в-четвертых - ряд специальных курсов, которые сейчас нередко называют методами вычислительной физики: численное решение задач газодинамики, аэродинамики, переноса излучения, квантовой физики, квантовой химии и т. д.
Эта книга является введением в численные методы. Она начинается с простейших задач интерполирования функций и кончается недавно возникшим разделом вычислительной математики - методами решения некорректно поставленных задач. Книга написана на основе годового курса лекций, читавшихся автором сначала инженерам-конструкторам, а после переработки-студентам физического факультета МГУ. Для каждой задачи существует множество методов решения. Папример, хорошо обусловленную систему линейных уравнений можно решать методами Гаусса, Жордана, оптимального исключения, окаймления, отражений, ортогонализации и рядом других. Интерполяционный многочлен записывают в формах Лагранжа, Пьютона, Грегори-Пьютона, Бесселя, Стирлинга, Гаусса и Лапласа-Эверетта. Подобные методы обычно являются вариациями одного-двух основных методов, и если даже в каких-то частных случаях имеют преимущества, то незначительные. Кроме того, многие методы создавались до появления ЭВМ, и ряд из них в качестве существенного элемента включает интуицию вычислителя. Появление ЭВМ потребовало переоценки старых методов, что до конца еще не сделано, и до сих пор по традиции большое количество неэффективных методов кочует из учебника в учебник. Отчасти это объясняется тем, что эффективность многих методов сильно зависит от мелких деталей алгоритма, почти не поддающихся теоретическому анализу; поэтому окончательный отбор лучших методов можно сделать только на основании большого опыта практических расчетов.
В этой книге сделана попытка такого отбора, опирающаяся на многолетний опыт решения большого числа разнообразных задач математической физики. Для большинства рассмотренных в книге задач изложены только наиболее эффективные методы с широкой областью применимости. Песколько методов для одной и той же задачи даны в том случае, если они имеют существенно разные области применимости, или если для данной задачи еще не разработано достаточно удовлетворительных методов.
Часто приходится слышать, что наступила эпоха компьютеров, а "ручные" расчеты являются архаизмом. Па самом деле это далеко не так. Прежде чем поручать компьютеру большую задачу, надо сделать много оценочных расчетов и на их основе понять, какие методы окажутся эффективными для данной задачи. Конечно, даже в мелких расчетах ЭВМ с хорошим математическим обеспечением и набором периферийных устройств оказывает большую пользу.
Основное внимание в книге уделено выработке практических навыков у читателя. Поэтому в первую очередь изложены алгоритмы, даны рекомендации по их применению и отмечены "маленькие хитрости" - те незначительные на первый взгляд практические приемы, которые сильно повышают эффективность алгоритма. Теоретическое обоснование методов приведено лишь в той мере, в какой оно необходимо для лучшего усвоения и практического применения.
В книгу включен ряд сведений, не относящихся к необходимому минимуму, но полезных читателю для лучшего понимания тонких деталей вычислительных процессов. Чтобы не увеличивать объем книги и избежать сложных выкладок, эти сведения приведены, как правило, без доказательств, но со ссылками на дополнительную литературу. Некоторые сведения даны в форме задач в конце каждой главы. Предполагается, что читатели знакомы с основами высшей математики, включая краткие сведения об уравнениях в частных производных. Необходимые дополнительные сведения, которые не содержатся в обязательных курсах университетов и втузов, сообщаются здесь в соответствующих разделах.
Книга разделена на главы; параграфы и пункты. В начале каждой главы кратко изложено ее содержание. Нумерация таблиц и рисунков - единая по всей книге, а нумерация формул- самостоятельная в каждой главе. Если ссылка не выходит за пределы данной главы, то указывается только номер формулы; если выходит-то номер главы и номер формулы. В конце книги дан список литературы. Приведенные в нем учебники и монографии рекомендуются для углубленного изучения отдельных разделов. Журнальные статьи даны для указания на оригинальные работы, их список не претендует на полноту; более полная библиография имеется в рекомендованных учебниках.
Общий подход к теории и практике вычислений, определивший стиль этой книги, сложился у меня под влиянием А. А. Самарского и В. Я. Гольдина за много лет совместной работы. Ряд актуальных тем был включен по инициативе, А. Г. Свешникова и В. Б. Гласко. Много ценных замечаний сделали А. В. Гулин, Б. Л. Рождественский, И. М. Соболь, И. В. Фрязинов, Е. В. Шикин и сотрудники кафедры прикладной математической физики МИФИ. В оформлении рукописи мне помогли Л. В. Кузьмина и В. А. Красноярова. Я пользуюсь случаем искренне поблагодарить всех названных лиц, и в особенности Александра Андреевича Самарского.
Физиков математика интересует не сама по себе, а как средство решения физических задач. Рассмотрим поэтому, как решается любая реальная задача - например, нахождение светового потока конструируемой лампы, производительности проектируемой химической установки или себестоимости продукции строящегося завода. Одним из способов решения является эксперимент. Построим эту лампу, установку или завод и измерим интересующую нас характеристку. Если характеристика оказалась неудачной, то изменим проект и построим новый завод и т.д. Ясно, что мы получим достоверный ответ на вопрос, но слишком медленным и дорогим способом. Другой способ - математический анализ конструкции или явления. Но такой анализ применяется не к реальным явлениям, а к некоторым математическим моделям этих явлений. Поэтому первая стадия работы - это формулировка математической модели (постановка задачи). Для физического процесса модель обычно состоит из уравнений, описывающих процесс; в эти уравнения в виде коэффициентов входят характеристики тел или веществ, участвующих в процессе.
Примечание. Сохраняйте книги на планшет или смартфон и скачивайте их с Вашего AMP планшета или смартфона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный планшет или смартфон (в память устройства) и на Ваш компьютер через AMP интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.