AMP :: А.А. Самарский, А.В. Гулин, Численные методы - скачать книги :: Численные методы, алгоритмизация, программирование

§ 1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
1. Схема вычислительного эксперимента (II). 2. Вычислительный алгоритм (12). 3. Требования к вычислительным методам (14).

§ 2. Погрешности округления
1. Представление вещественных чисел в ЭВМ (16). 2. Округление чисел в ЭВМ (17). 3. Накопление погрешностей округления (19). 4. Разностные уравнения первого порядка (20). 5. Оценки погрешностей округления (22).

§ 3. Разностные уравнения второго порядка
1. Задача Коши и краевые задачи для разностных уравнений (25). 2. Однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (26). 3. Однородное разностное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами (28). 4. Неоднородное разностное уравнение второго порядка (31).

§ 4. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений
1. Сетки и сеточные функции (34). 2. Разностная краевая задача (35). 3. Некоторые разностные тождества (38). 4. Разностная задача на собственные значения (39). 5. Свойства собственных значений и собственных функций (41). 6. Разрешимость и сходимость разностной задачи (13). 7. Метод прогонки (45).

ЧАСТЬ II ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА

Глава 1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических урав нений

§ 1. Метод Гаусса численного решения систем линейных алгебраических уравнений
1. Основная идея методч (49). 2. Расчетные формулы (51). 3. Подсчет числа действий (53).

§ 2. Условия применимости метода Гаусса
1. Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители (54). 2. Теорема об LU-разложении (55). 3. Элементарные треугольные матрицы (58).

§ 3. Метод Гаусса с выбором главного элемента
1. Основная идея метода (60). 2. Матрицы перестановок (61). 3. Пример (62). 4. Общий вывод (65). 5. Доказательство теоремы 1 (66). 6. Вычисление опреде лителя (67).

§ 4. Обращение матрицы

§ 5. Метод квадратного корня
1. Факторизация эрмитовой матрицы (69). 2. Пример (70). 3. Общие расчетные формулы (71). 4. Подсчет числа действий (72).

§ 6. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений
1. Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений (74). 2. Число обусловленности (76). 3. Полная оценка относительной погрешности (77). 4. Влияние погрешностей округления при решении систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (79).

Глава 2. Итерационные методы решения систем линейных алгебраиче ских уравнений

§ 1. Примеры и канонический вид итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений
1. Итерационные методы Якоби и Зейделя (82). 2. Матричная запись методов Якоби и Зейделя (83). 3. Каноническая форма одношаговых итерационных методов (84)

§ 2. Исследование сходимости итерационных методов

§ 3. Необходимое и достаточное условие сходимости стационарных итера ционных методов
1. Введение (90). 2. Норма матрицы (91). 3. Теорема о сходимости итерационного метода (92). 4. Продолжение доказательства (93).

§ 4. Оценки скорости сходимости стационарных итерационных методов
1. Скорость сходимости итерационного метода (95). 2. Оценки скорости сходимости в случае симметричных матриц А и В (96). 3. Правила действий с матричными неравенствами (98). 4. Доказательство теоремы 1 (100) . 5. Оценка погрешности в случае несимметричной матрицы В (102).

§ 5. Многочлены Чебышева I. Многочлен Чебышева на отрезке [-1, 1] (103). 2. Случай произвольного отрезка (105). 3. Другая нормировка многочленов Чебышева (106). 4. Примеры применения многочленов Чебышева (107).

§ 6. Итерационные методы с чебышевским набором параметров
1. Явный итерационный метод (109). 2. Численная устойчивость итерационного метода с чебышевским набором параметров (112). 3. Неявный чебышевскнй итерационный метод (113). 4. Случай, когда точные границы спектра неизвестны

§ 7. Итерационные методы вариационного типа
1. Метод минимальных невязок (116). 2. Метод минимальных поправок (118). 3. Метод скорейшего спуска (119). 4. Метод сопряженных градиентов (120). 5. Минимизация погрешности (121). 6. Выбор итерационных параметров в методе сопряженных градиентов (122). 7. Оценка погрешности в методе сопряженных градиентов (126).

Глава 3. Интерполирование и приближение функций

§ 1. Интерполирование алгебраическими многочленами !. Интерполяционная формула Лагранжа (127). 1. Интерполяционная формупа Ньютона (129).

§ 2. Погрешность интерполирования
1. Остаточный член интерполяционной формулы (132). 2. Оптимальный выбор узлов интерполирования (134). 3. О сходимости интерполяционного процесса (134).

§ 3. Интерполирование с кратными узлами
1. Интерполяционный многочлен Эрмита (136). 2. Пример (138).

§ 4. Интерполирование сплайнами
1. Построение кубического сплайна (141). 2. Сходимость процесса интерполирования кубическими сплайнами (143).

§ 5. Другие постановки задач интерполирования и приближения функции
1. Примеры (148). 2. Общая постановка задачи интерполирования (151). 3. Наилучшее приближение функции, заданной таблично (152) . 4 . Сглаживание сеточных функций (154).

§ 6. Наилучшие приближения в гильбертовом пространстве
1. Постановка задачи (156). 2. Сведение к алгебраической задаче о минимуме квадратичного функционала (157). 3. Следствия (159).

Глава 4. Численное интегрирование и дифференцирование

§ 1. Примеры формул численного интегрирования
1. Введение (161). 2. Формула прямоугольников (162). 3- Формула трапеций (164). 4. Формула Симпсона (165). 5. Апостериорная оценка погрешности методом Рунге. Автоматический выбор шага интегрирования (168). 6. Экстраполяция Ричардсона (169).

§ 2. Квадратурные формулы интерполяционного типа
1. Вывод формул (172). 2. Оценка погрешности (174). 3. Симметричные формулы (175). 4. Формулы Ньютона - Котеса. Численная устойчивость квадратурных формул (178).

§ 3. Метод Гаусса вычисления определенных интегралов
1. Постановка задачи (180). 2. Основная теорема (181). 3. Существование и единственность квадратурных формул наивысшей алгебраической степени точности (183). 4. Свойства квадратурных формул Гаусса (184) . 5. Частный cлучай формул Гаусса (185).

§ 4. Численное дифференцирование
1. Некорректность операции численного дифференцирования (186). 2. Применение интерполирования (188).

Глава 5. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений

§ 1. Примеры итерационных методов решения нелинейных уравнений
1. Введение (190). 2. Метод простой итерации (191). 3. Метод Ньютона (193). 4. Метод секущих (194). 5. Интерполяционные методы (194). 6. Использование обратной интерполяции (195).

§ 2. Сходимость метода простой итерации
1. Теорема о сходимости (195). 2. Метод Эйткена ускорения сходимости (198).

§ 3. Сходимость метода Ньютона
1. Простой вещественный корень (199). 2. Кратные корни (202). 3. Односторонние приближения (203). 4. Комплексный корень (205).

§ 4. Итерационные методы для систем нелинейных уравнений
1. Общие понятия (207). 2. Сходимость стационарного метода (208). 3. Примеры итерационных методов (203).

Глава 6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

§ 1. Исходная задача и примеры численных методов ее решения
1. Постановка исходной задачи (214). 2. Примеры численных методов (214).

§ 2. Методы Рунге-Кутта
1. Общая формулировка методов. Семейство методов второго порядка (218). 2. Доказательство сходимости (221). 3. Методы третьего порядка точности (224). 4. Методы четвертого порядка точности (226).

§ 3. Многошаговые разностные методы
1. Формулировка методов (230). 2. Погрешность аппроксимации многошаговых методов (231). 3. Устойчивость и сходимость разностных методов (233). 4. Примеры многошаговых разностных методов (235).

§ 4. Сходимость и оценка погрешности многошагового разностного метода
1. Уравнение для погрешности (236). 2. Однородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Частные решения (238). 3. Однородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Устойчивость по начальным данным (240). 4. Оценка решения неоднородного уравнения (213). 5. Оценки погрешности разностного метода (244).

§ 5. Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнении
1. Условно устойчивые и абсолютно устойчивые разностные методы (247). 2. Понятие жесткой системы дифференциальных уравнений (249). 3. Нелиней ные системы дифференциальных уравнений (251). 4. Специальные определения устойчивости (252). 5. Чисто неявные разностные методы (255).

ЧАСТЬ III РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Глава 1. Вводные понятия

§ 1. Примеры разностных аппроксимаций

§ 2. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом 1. Построение разностной схемы (262).

§ 3. Исследование аппроксимации и сходимости
1. Аппроксимация дифференциального уравнения (265). 2. Аппроксимация граничного условия (267). 3. Уравнение для погрешности (268) .4. Разностные тож -дества и неравенства (269). 5. Доказательство сходимости (270).

§ 4. Разностные схемы для уравнения теплопроводности
1. Исходная задача (272). 2. Явная схема (272). 3. Неявные схемы (276). 4. Уравнения с переменными коэффициентами и нелинейные уравнения (279).

§ 5. Трехслойные разностные схемы
1. Разностные схемы для уравнения колебаний (283). 2. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности (285).

§ 6. Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, сходи мость, устойчивость
1. Введение (286). 2. Погрешность аппроксимации и погрешность схемы (287). 3. Корректность разностной схемы. Сходимость. Связь между устойчивостью и сходимостью (290).

Глава 2. Принцип максимума для разностных схем

§ 1. Разностная аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона
1. Постановка разностной задачи (291). 2. Канонический вид разностного уравнения (292).

§ 2. Принцип максимума для разностных схем. Основные теоремы
1. Исходные предположения (294). 2. Принцип максимума и его следствия (295). 3. Теорема сравнения. Устойчивость по граничным условиям (298). 4. Приме ры (299).

§ 3. Доказательство устойчивости и сходимости разностной задачи Дирих ле для уравнения Пуассона
1. Устойчивость по граничным условиям (300). 2. Устойчивость по правой части и сходимость (302).

§ 4. Примеры применения принципа максимума

§ 5. Монотонные разностные схемы для уравнений второго порядка, содер жащих первые производные

Глава 3. Метод разделения переменных

§ 1. Разностная задача на собственные значения
1. Оператор второй разностной производной (311). 2. Задача на собственные значения (312). 3. Свойства собственных значений и собственных функций (313). 4. Операторные неравенства (315).

§ 2. Задача на собственные значения для пятиточечного разностного оператора Лапласа
1. Самосопряженность (317). 2. Оценка собственных чисел. Положительность оператора (318).

§ 3. Исследование устойчивости и сходимости схемы с весами для урав нения теплопроводности
1. Исходная задача и разностная схема (320). 2. Устойчивость схемы по начальным данным (322). 3. Устойчивость по правой части и сходимость (324). 4. Схема с весами для двумерного уравнения теплопроводности (326). 5. Асимптотическая устойчивость (328).

§ 4. Решение разностного уравнения второго порядка методом Фурье

§ 5. Быстрое дискретное преобразование Фурье

§ 6. Решение разностного уравнения Пуассона с использованием быстрого преобразования Фурье

Глава 4. Теория устойчивости разностных схем

§ 1. Разностные схемы как операторные уравнения
1. Представление разностных схем в виде операторных уравнений (339). 2. Корректность операторных уравнений (342). 3. Операторы первой разностной производной (347).

§ 2. Канонический вид и условия устойчивости двуслойных разностных схем
1. Канонический вид двуслойных разностных схем (349). 2. Устойчивость разностных схем (351), 3. Теоремы об устойчивости по начальным данным (354). 4. Несамосопряженные разностные схемы (359).

§ 3. Канонический вид и условия устойчивости трехслойных разностных схем
1. Канонический вид (362). 2. Эквивалентность трехслойной схемы двуслойной (363). 3. Устойчивость по начальным данным (364). 4. Примеры (366).

§ 4. Об экономичных методах решения многомерных нестационарных задач математической физики
1. Недостатки обычных разностных методов (369). 2. Пример метода переменных направлений (372). 3. Абсолютная устойчивость продольно-поперечной схемы (373). I. Понятие суммарной аппроксимации (376).

Глава 5. Прямые и итерационные методы решения сеточных уравнений

§ 1. Модельная задача
1. Введение (378). 2. Модельная задача (379). 3. Применение методов Якоби и Зейделя (381). 4. Метод верхней релаксации (384).

§ 2. Применение явного итерационного метода с оптимальным набором параметров
1. Явный итерационный метод с чебышевскими параметрами (389). 2. Применение к модельной задаче (390). 3. Применение чебышевского метода к разностным аппроксимациям уравнений эллиптического типа (391).

§ 3. Попеременно-треугольный итерационный метод
1. Алгебраическая теория (394). 2. Применение к модельной задаче (398). 3. Попеременно-треугольный метод с чебышевскими итерационными параметрами (401). 4. Модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод (402).

§ 4. Итерационный метод переменных направлений
1. Формулировка метода и исследование сходимости (404). 2. Пример (406). 3. Случай прямоугольной области (408).

§ 5. Метод матричной прогонки
1. Введение (411). 2. Запись разностного уравнения Пуассона в виде системы векторных уравнений (412). 3. Алгоритм матричной прогонки (414). 4. Устойчивость матричной прогонки (415).

§ 6. Метод редукции
1. Вывод основных формул (418). 2. Обращение матриц (421), 3. Вычисление правых частей (423). 4. Формулировка и обсуждение алгоритма (424).

Краткая аннотация книги

Излагаются основные принципы построения и исследования численных методов решения на ЭВМ различных классов математических задач. Наряду с традиционными разделами, такими как интерполирование, численное интегрирование, методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, большое место в книге занимают разностные методы для уравнений в частных производных и итерационные методы решения сеточных уравнений. Для студентов, обучающихся по специальности "Прикладная математика" и "Физика", а также для широкого круга специалистов, применяющих ЭВМ для научных расчетов.

В книге излагаются основы численных методов решения задач алгебры, анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики. Книга предназначена для студентов вузов, специализирующихся в области прикладной математики. Она может оказаться полезной также студентам других специальностей, желающим получить представление о методах решения математических задач с помощью ЭВМ. Книга основана на курсе лекций, который читался в течение ряда лет студентам факультета вычислительной математики и кибернетики Московского университета.

В курсах численных методов изучаются вопросы построения, применения и теоретического обоснования алгоритмов приближенного решения различных классов математических задач. В настоящее время большинство вычислительных алгоритмов ориентировано на использование быстродействующих ЭВМ, что существенно влияет на отбор учебного материала и на характер его изложения. Следует отметить некоторые особенности предмета численных методов. Во-первых, для численных методов характерна множественность, т. е. возможность решить одну и ту же задачу различными методами. Во-вторых, вновь возникающие естественно-научные задачи и быстрое развитие вычислительной техники вынуждают переоценивать значение существующих алгоритмов и приводят к созданию новых. Перечисленные особенности предмета, его обширность и неоднородность делают иллюзорной попытку изложить предмет "во всей полноте и строгости". По. гаму авторы настоящей книги поставили перед собой задачу собрать минимальный материал, достаточный для дальнейшей работы выпускников вузов в области применения и создания вычислительных методов.

Вычислительный алгоритм естественно рассматривать как необходимую составную часть вычислительного эксперимента - эффективного метода решения крупных естественно-научных и народнохозяйственных задач. С этих позиций и ведется изложение численных методов в данной книге. Рассматриваются только те методы, которые выдержали испытание практикой и применяются для решения реальных задач. Наибольшее внимание уделяется фундаментальным разделам численных методов - численному решению систем линейных алгебраических уравнений и разностным методам решения задач математической физики. В то же время авторы сознают, что многие интересные и важные методы изложены недостаточно полно или совсем не вошли в книгу. За рамками книги остались такие этапы вычислительного эксперимента, как построение математической модели, программирование и организация вычислений. В тех случаях, когда подробное изложение численного метода оказывалось слишком громоздким, содержало много выкладок или опиралось на труднодоступный студентам математический аппарат, авторы предпочитали ограничиться характерными примерами.

Книга состоит из трех частей. Часть I является вводной, в ней дается представление о месте численных методов в общем процессе математического моделирования и вычислительного эксперимента, а также рассматриваются на уровне примеров некоторые вычислительные алгоритмы. В части II излагаются традиционные разделы численных методов, такие как прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, интерполирование, численное интегрирование, решение нелинейных уравнений, методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Может возникнуть вопрос, зачем нужно столь подробно излагать методы, для большинства из которых уже давно существует хорошо зарекомендовавшая себя программная реализация? Дело в том, что сознательное использование существующих программ и тем более создание новых улучшенных версий вряд ли возможно без изучения самих методов и связанных с ними теоретических представлений. В части III рассматриваются разностные методы решения задач математической физики. Здесь большое внимание уделяется принципам построения разностных схем для различных задач, исследованию их устойчивости и сходимости, методам решения сеточных уравнений.

Для чтения части II требуется знание алгебры, анализа и обыкновенных дифференциальных уравнений в объеме одного-двух курсов вузовского обучения. Часть III предполагает знакомство с постановкой типичных задач математической физики. Каких-либо специальных предварительных сведений из области вычислительной математики не требуется. Предполагается, что одновременно с изучением данного курса читатель овладевает навыками решения задач с помощью ЭВМ, а также участвует в работе студенческого семинара по численным методам.

Авторы приносят глубокую благодарность декану факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ академику А. Н. Тихонову, при активном участии которого обсуждались вопросы преподавания численных методов. Считаем также своим приятным долгом выразить благодарность нашим товарищам и сотрудникам по работе В. Б. Андрееву, Т. Н. Галишниковой, Л. М. Дегтяреву, Н. И. Ионкину, Н. Н. Калиткину, Д. П. Костомарову, Е. С. Николаеву, Ю. П. Попову, А. П. Фаворскому, И. В. Фрязинову за полезное обсуждение и сделанные замечания по содержанию книги.

Примечание. Сохраняйте книги на планшет или смартфон и скачивайте их с Вашего AMP планшета или смартфона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный планшет или смартфон (в память устройства) и на Ваш компьютер через AMP интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.

AMP версия сайта
Мобильная версия

Сайт для компьютера
http://www.mat.net.ua