AMP :: В.В. Голубев, Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений - скачать книги :: Дифференциальные и интегральные уравнения

ГЛАВА ПЕРВАЯ. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ.
§ 1. Существование интегралов дифференциальных уравнений. Определение коэффициентов
§ 2. Мажорантные функции
§ 3. Сходимость рядов. Теорема Коши
§ 4. Теорема единственности
§ 5. Существование и единственность интегралов уравнений высших порядков
§ 6. Мажорантные функции в случае линейных уравнений
§ 7. Аналитическое продолжение интеграла. Классификация особых точек
§ 8. Неподвижные и подвижные особые точки
§ 9. Подвижные алгебраические точки
§ 10. Подвижные трансцендентные и существенно особые точки
§ 11. Уравнения с неподвижными критическими точками
§ 12. Замечания об однозначных интегралах уравнений первого порядка

ГЛАВА ВТОРАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Некоторые свойства алгебраических функций
§ 2. Уравнения с неподвижными критическими точками. Условия Фукса
§ 3. Теорема Пенлеве
§ 4. Поверхности Римана.
§ 5. Топология поверхностей Рямана
§ 6. Алгебраические функции жанра 0 и 1
§ 7. Интегрирование уравнений с неподвижными критическими точками
§ 8. Теорема Эрмита
§ 9. Уравнения вида w'm = R(w)
§ 10. Интегрирование уравнений вида w'm = P(w)
§ 11. Однозначное обращение функций Шварца-Кристоффеля
§ 12. Уравнения гиперэллиптического типа
§ 13. Бирациональные преобразования
§ 14. Интегрирование уравнений жанра выше 1

ГЛАВА ТРЕТЬЯ. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕПОДВИЖНЫМИ КРИТИЧЕСКИМ ТОЧКАМИ.
§ 1. Общие замечания
§ 2. Теорема Пуанкаре
§ 3. Метод малого параметра
§ 4. Приложение метода малого параметра
§ 5. Определение вида функций А1 (w, z) и А2 (w, z)
§ 6. Случай, когда …
§ 7. Уравнения …
§ 8. Подвижные полюсы
§ 9. Лемма
§ 10. Трансцендентные Пенлеве

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Разложение интегралов в области особых точек
§ 3. Аналитическое выражение интегралов
§ 4. Случай регулярной особой точки
§ 5. Уравнения класса Фукса
§ 6. Уравнение Римана
§ 7. Упрощение вида уравнений
§ 8. Уравнения высших порядков. Группа уравнения
§ 9. Группы подстановок
§ 10. Группа монодромии

ГЛАВА ПЯТАЯ. ГИПЕРГЕОМЕТРПЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. ПРОБЛЕМА РИМАНА.
§ 1. Уравнение Гаусса. Гипергеометрический ряд
§ 2. Определение группы уравнения Римана
§ 3. Гипергеометрические интегралы
§ 4. Определение группы уравнения Гаусса
§ 5. Уравнение Лежандра
§ 6. Проблема Римана

ГЛАВА ШЕСТАЯ. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ, ОГРАНИЧЕННЫХ ДУГАМИ ОКРУЖНОСТЕЙ.
§ 1. Дифференциальное уравнение отображающей функции
§ 2. Интегрирование уравнения Шварца
§ 3. Отображение треугольника
§ 4. Отображение многоугольника
§ 5. Обращение отношения двух линейно независимых интегралов
§ 6. Однозначные обращения функций Шварца-Кристоффеля
§ 7. Функции Шварца; полиэдрические функции
§ 8. Функции Шварца; случай
§ 9. Модулярные функции
§ 10. Группа модулярной функции. Абсолютный инвариант
§ 11. Функции с прерывным совершенным множеством особых точек

ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ.
§ 1. Общие замечания
§ 2. Свойства дробно-линейных подстановок
§ 3. Фундаментальная область автоморфной функции
§ 4. Собственно прерывные группы подстановок
§ 5. Простейшие автоморфные функции с конечными группами
§ 6. Конечные группы дробно-линейных подстановок
§ 7. Автоморфные функции в случае конечных групп
§ 8. Группы с одной предельной точкой
§ 9. Эллиптические функции
§ 10. Группы с двумя предельными точками

ГЛАВА ВОСЬМАЯ. АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ФУКСА И КЛЕЙНА.
§ 1. Геометрия Лобачевского
§ 2. Прерывные группы движений гиперболической плоскости
§ 3. Нормальные фундаментальные многоугольники
§ 4. Понятие о функциях Фукса
§ 5. Униформизация алгебраических функций
§ 6. Понятие

Краткая аннотация книги

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ. Второе издание "Лекций" в основном воспроизводит текст вышедшего в 1941 г. первого издания. Внесено несколько незначительных дополнений и исправлены замеченные опечатки. Моим товарищам но научной и педагогической работе и моим слушателям приношу глубокую благодарность за ряд исправлений и уточнений в тексте, которые были ими указаны. В настоящей книге изложено с некоторыми дополнениями содержание лекций, читанных в течение ряда лет студентам и аспирантам МГУ.

Задачей курса было познакомить слушателей с классическими вопросами теории аналитических функций, выходящими за пределы содержания курсов и учебников по основам теории аналитических функций.

Обычное содержание курса по теории аналитических функций ограничивается общими теоремами, их приложениями почти исключительно к однозначным функциям, теоремами существования и простейшими примерами конформного отображения и иногда вопросами, относящимися к теореме Пикара и ее различным обобщениям и к теории однолистных функций. При этом совершенно выпадают такие основные вопросы, как теория алгебраических функций, поверхностей Римана, понятие о жанре алгебраической функции, и вообще все вопросы, связанные с многозначными функциями, характером и классификацией их особых точек, и, наконец, основные понятия теории полиэдрических, модулярных и автоморфных функций, то-есть всех функций, связанных с теорией групп движения, с одной стороны, и с важнейшими вопросами конформного отображения, - с другой.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Аналитическая теория дифференциальных уравнений, помимо своих собственных задач и методов, дает чрезвычайно удобный материал для ознакомления с перечисленными выше вопросами.

С этой точки зрения и написана настоящая книга. При ее составлении автор использовал ряд заметок, сделанных на лекциях слушателями. Особенно широко были использованы мною записи лекций, составленные доцентом ВВА РККА В. С. Пугачевым. За разрешение использовать эти записи и за помощь при обработке ряда параграфов книги считаю своим долгом выразить ему глубокую благодарность.

Задача интегрирования дифференциальных уравнений является классической и важнейшей задачей математического анализа.

Весьма большое число различных задач механики, математической физики, инженерных наук и различных других областей знания приводится к интегрированию дифференциальных уравнений. Математические трудности, которые встречаются при интегрировании этих уравнений, часто задерживают решение прикладных задач. Примером может служить знаменитая задача о трех телах, невозможность полного разрешения которой обусловливается отсутствием методов интеграции уравнений такого типа, какие встречаются в этой задаче, и невозможностью до конца исследовать их интегралы.

Всякий прогресс в изучении интегралов дифференциальных уравнений сейчас же позволяет продвинуть решение ряда прикладных задач. Классическим примером этого может служить случай движения твердого тела, найденный и до конца изученный С. В. Ковалевской. Она нашла этот случай, исходя из попытки найти такие случаи движения твердого тела, когда интегралы соответствующих уравнений обладают некоторым аналитическим свойством.

Развитие теории дифференциальных уравнений имеет не меньшее значение и для развития самого математического анализа. Среди бесконечного разнообразия функций, к которым приводят общие методы современной теории функций, конечно, не все представляют одинаковый интерес для исследования. Большей частью особый интерес представляют классы функций, обладающих какими-нибудь особыми функциональными свойствами (например, периодичностью, теоремой сложения и т. п.) или удовлетворяющих дифференциальным уравнениям особенно простых типов. Теория дифференциальных уравнений является источником, питающим математический анализ различными новыми классами функций. К теории эллиптических функций, абелевых функций, автоморфных функций и различных классов так называемых специальных, функций (функций Лежандра, Бесселя, Ламе и т. д.) привели задачи теории дифференциальных уравнений.

В первых исследованиях по теории дифференциальных уравнений, естественно, стремились выразить интегралы уравнений через известные функции или свести интегрирование уравнений к взятию интегралов от известных функций. Математиками XVIII столетия - Эйлером, Бернулли, Клеро и другими - были достигнуты в этом направлении основные результаты, которые и излагаются в настоящее время в элементарных курсах по интегрированию дифференциальных уравнений.

Однако в таком направлении задача решается только в случае особенно простых дифференциальных уравнений. В подавляющем же большинстве случаев задача нахождения интегралов не приводится к вычислению интегралов от известных функций, а самые днтегралы не выражаются конечными комбинациями известных функций. Это обстоятельство выдвинуло задачу изучения свойств интеграла непосредственно по дифференциальному уравнению. Такое исследование можно вести в различных направлениях.

С одной стороны, исходя, например, из того соображения, что - с геометрической точки зрения интеграл уравнения представляет собой некоторую линию-интегральную кривую, можно изучать общие свойства таких интегральных кривых, их особые точки, общее расположение кривых семейства и т. п. С этой точки зрения изучение дифференциальных уравнений ведется в так называемой качественной теории дифференциальных уравнений.

Можно исследовать интегралы дифференциальных уравнений и с другой точки зрения. Еще Коши показал, что при весьма широких предположениях относительно характера дифференциального уравнения его интегралы представляют собой аналитические ¦функции комплексного переменного. Поэтому интегралы таких уравнений можно изучать обычными методами теории функций комплексного переменного. С этой точки зрения и ведется исследование интегралов дифференциальных уравнений в аналитической теории дифференциальных уравнений. Таким образом аналитическая теория дифференциальных уравнений есть часть общей теории функций комплексного переменного, в которой общие методы прилагаются к изучению интегралов дифференциальных уравнений различных классов и к нахождению классов дифференциальных уравнений, интегралы которых обладают какими-нибудь свойствами, представляющими особый интерес с точки зрения теории функций комплексного переменного (однозначность, характер особых точек и т. п.).

Представляя собой часть общей теории функций комплексного переменного, аналитическая теория дифференциальных уравнений развивалась параллельно с общей теорией. Начало ее развитию было положено в работах Коши1), который для широкого класса уравнений доказал существование интегралов, представляющих собой некоторые аналитические функции комплексного переменного. Результаты Коши носили локальный характер; поведение интегралов изучалось лишь в области, определяемой начальными данными, а сам метод не давал возможности изучить поведение интеграла как аналитической функции во всей области его существования. В работах Брио и Буке постановка задачи носит более широкий характер. Им принадлежат первые исследования случаев, когда уравнения вида P(w', 'v)=0, где Р~ многочлен, имеют однозначные интегралы. Им же принадлежит попытка построить, исходя из теории дифференциальных уравнений, общую теорию эллиптических функций

Дальнейший существенный прогресс в этой области был получен в работах Римана2, в которых была весьма глубоко изучена теория линейных уравнений. В работах Фукса и Пуанкаре были подробно изучены нелинейные уравнения первого порядка (1884-1885). Наконец, Пуанкаре и Клейн (1878-1890) разработали теорию так называемых автоморфных функций, связанную с исследованиями Фукса по теории линейных дифференциальных уравнений, с теорией одного класса уравнений третьего порядка и с основными вопросами теории конформного отображения. Параллельно в работах Эрмита и Шварца были изучены некоторые частные типы автоморфных функций (модулярные и полиэдрические функции), связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Клейну принадлежит окончательная разработка теории в этом направлении.

Иное направление получили исследования по аналитической теории дифференциальных уравнений в работах С. В. Ковалевской по теории движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Классические исследования С. В. Ковалевской (1889) были существенно дополнены и развиты в работах А. М. Ляпунова, Г. Г. Аппельрот, П. А. Некрасова и ряда других русских ученых, а также в исследованиях Пикара и Миттаг-Леффлера. Идеи С. В. Ковалевской привели к постановке задачи об изыскании класса уравнений, интегралы которых- однозначные функции. Важные результаты, полученные в этом направлении, тесно связаны с развитием общей теории алгебраических функций.

Крупные результаты в области аналитической теории дифференциальных уравнений были получены Пенлеве. Ему принадлежат существенные дополнения к общей теории дифференциальных уравнений первого порядка и глубокие исследования по теории уравнений второго и высших порядков. В работах Пенлеве (1888- 1905) впервые систематически проводится идея исследования интегралов дифференциальных уравнений как аналитических функций Во всей области их существования непосредственно по дифференциальному уравнению.

К исследованиям Пенлеве примыкает длинный ряд исследований (Гамбье, Гарнье, Шази и др.), разработавших и распространивших методы Пенлеве на более широкие классы уравнений. Из других направлений необходимо отметить исследования Мальмквиста (1914), который применил для изучения некоторых специальных вопросов теории дифференциальных уравнений теорию роста функций, затем исследования Гилла1) по применению к теории дифференциальных уравнений теории бесконечных определителей и, наконец, исследования Шлезингера (1898-1906)2).

В трудах Лаппо-Данилевского (1927-1931) теория линейных дифференциальных уравнений получила замечательное развитие благодаря применению теории матриц, представляющей в известном смысле обобщение теории функций комплексного переменного.

Примечание. Сохраняйте книги на планшет или смартфон и скачивайте их с Вашего AMP планшета или смартфона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный планшет или смартфон (в память устройства) и на Ваш компьютер через AMP интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.

AMP версия сайта
Мобильная версия

Сайт для компьютера
http://www.mat.net.ua