Электронная библиотека
Программисту веб-дизайнеру
Другие материалы
Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
Д. Эрроусмит, К. Плейс, Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями
• Бесплатно скачать книгу, объем 1.99 Мб, формат .djvu
Перевод с англ. Т.Д. Вентцель, под ред. Н.X. Розова, Москва, 1986
1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Предварительные идеи
1.2. Автономные уравнения
1.3. Автономные системы на плоскости
1.4. Построение фазовых портретов на плоскости
1.5. Потоки и эволюция
2 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
2.1. Линейная замена переменных
2.2. Классы подобия для действительных 2 х 2-матриц
2.3. Фазовые портреты для канонических систем из плоскости
2.4. Классификация простых линейных фазовых портретов на плоскости
2.5. Оператор эволюции
2.6. Аффинные системы
2.7. Линейные системы в пространствах размерности, большей чем два
3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
3.1. Локальное и глобальное поведение
3.2. Линеаризация в окрестности неподвижной точки
3.3. Теорема о линеаризации
3.4. Непростые неподвижные точки
3.5. Устойчивость неподвижных точек
3.6. Обыкновенные точки и глобальное поведение
3.7. Первые интегралы
3.8. Предельные циклы
3.9. Теория Пуанкаре-Бендиксона
4. ПРИЛОЖЕНИЯ
4.1. Линейные модели
4.2. Аффинные модели
4.3. Нелинейные модели
4.4. Релаксационные колебания
4.5. Кусочное моделирование
5. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
5.1. Уравнение Льенара
5.2. Регуляризация и некоторые экономические модели
5.3. Модели Зимана пульсации сердца и нервного импульса
5.4. Функции Ляпунова
5.5. Бифуркация в системах
5.6. Математическая модель роста опухоли
Краткая аннотация книги
Книга английских математиков, дающая краткое введение в качественную теорию дифференциальных уравнений и ее приложений к системам, зависящим от времени. Авторы знакомят читателей с методами получения результатов и показывают, как их применять. Помимо классических приложений в области механики и электротехники приведены примеры из области экологии, экономики, медицины. Для математиков-прикладников, преподавателей, аспирантов и студентов вузов.
Книги серий «Современная математика. Популярная серия» и «Современная математика. Вводные курсы» знакомы всем, кто хоть в какой-то мере интересуется математической литературой. Среди книг этих серий еще не было ни одной, посвященной обыкновенным дифференциальным уравнениям. Книги по геометрии и теории чисел, по логике и топологии, по алгебре и теории вероятностей, даже по машинной математике - были, а по дифференциальным уравнениям не было. Случайно ли это? Видимо, нет.
Причина здесь, прежде всего, заключается в том, что «введение» в перечисленные разделы математики можно (хотя, конечно, далеко не просто!) написать без громоздких аналитических вычислений и независимо от математических познаний читателя и его уровня владения математической техникой. Чтение и, главное, усвоение такой книги - дело не легкое, но вполне посильное читателю даже и с небольшим математическим багажом. В дифференциальных уравнениях - разделе, принципиально аналитическом, уже само первоначальное ознакомление с предметом представляется невозможным без свободного владения результатами анализа и других глав математики, без сухих и кропотливых цепочек преобразований. Во всяком случае, именно такую мысль навевают многие из имеющихся у нас книг и учебников, в том числе и адресованные широкому кругу читателей.
Авторы настоящей книги предприняли попытку разрушить это мнение. Они отошли от традиционной манеры изложения, нестандартно отобрали материал, нашли «изюминку» , которая, бесспорно, увлечет заинтересованного читателя. В результате им действительно удалось интересно и в то же время содержательно рассказать об обыкновенных дифференциальных уравнениях на уровне, вполне доступном младшекурсникам наших университетов и инженерных вузов.
Поскольку речь идет не об учебнике, а о книге для первого знакомства с предметом, авторы отказались от излишней общности, от воспроизведения многих аналитических результатов, от скрупулезных доказательств, требующих сложных преобразований и логических построений. Основное их внимание сконцентрировано на концептуальных вопросах. Фундаментальным понятиям, ведущим идеям и. основополагающим результатам авторы постоянно стараются дать не только (и не столько) формальное описание, но и интуитивные разъяснения, геометрическую трактовку, реальные интерпретации. Они не скупятся на разнообразные примеры, многочисленные поясняющие чертежи. Множество удачных и весьма полезных рисунков - большое достоинство книги.
В наши дни в дифференциальных уравнениях развивается новый стиль и язык изложения, все чаще используются новые терминология и обозначения, ведущую роль начинают играть понятия, еще недавно мало популярные, - оператор сдвига вдоль траектории (оператор эволюции), качественная эквивалентность, поток, грубость, бифуркация и др. Ко всем таким нововведениям надо привыкать как можно раньше. Важному делу их пропедевтики с успехом послужит эта книга.
» Изюминка» рассматриваемой книги, ее нетривиальная отличительная особенность, - обстоятельное описание разнообразных реальных проблем, для изучения которых привлекаются обыкновенные дифференциальные уравнения, и подробный качественный анализ соответствующих математических моделей. Такая богатая коллекция прикладных задач из самых разных областей в популярной книге на русском языке появляется, по-видимому, впервые.
Спора нет, все признают и ценят огромное значение дифференциальных уравнений как одного из основных орудий исследования естественно-научных, научно-технических и даже многих социально-экономических вопросов. Но присмотримся внимательнее к содержанию многих книг учебного характера по дифференциальным уравнениям, к содержанию программ для вузов и втузов. Что мы там видим? Методы интегрирования нескольких классов уравнений, педантичное доказательство теоремы существования и единственности, набор формул для решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, фазовые портреты линейных стационарных двумерных систем и (в лучшем случае) формальное определение устойчивости по Ляпунову. А как же приложения? О их существовании, как правило, лишь упоминается, да приводятся банальные примеры (вроде математического маятника, радиоактивного распада или бассейна с двумя трубами - через одну вода вливается, через другую выливается...).
Трактовка курса обыкновенных дифференциальных уравнений просто как абстрактного раздела «чистой» математики плоха не только тем, что убивает интерес студентов к прикладным задачам. Протекающий на наших глазах процесс интенсивной математизации знаний все более настоятельно требует от математиков умения не только проводить качественное или численное исследование готовой модели, но и самому переходить от содержательного представления о явлении к его формально-математическому описанию. Иначе говоря, студентов должно учить фактически осуществлять математическое моделирование (или, как стали говорить в последнее время, модельное обеспечение). И курс обыкновенных дифференциальных уравнений - один из самых подходящих и удобных поводов для ознакомления с этим искусством.
Заслуга авторов настоящей книги в том, что они как раз и пытаются продемонстрировать читателю образцы математического моделирования ряда конкретных явлений.
Знакомство с обыкновенными дифференциальными уравнениями часто традиционно связывают с освоением техники интегрирования различных, в том числе довольно экзотических, классов таких уравнений. В настоящей книге о методах интегрирования уравнений речь не идет вовсе (за исключением нескольких упражнений), все внимание - как в теории, так и в приложениях - сосредоточено на качественных рассмотрениях, на алгебро-геометрических подходах. Это в целом соответствует тому смещению акцентов, которое сейчас наблюдается в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
В этой связи нельзя не упомянуть, что современные компьютеры все более успешно осваивают тонкости проведения аналитических преобразований. Еще вчера многие были готовы биться об заклад, что машина в принципе не сможет оперировать с алгебраическими (буквенными) выражениями. А уже сегодня известны результаты первых экспериментов: компьютер успешно решил примерно 95% уравнений, собранных в известном справочнике Э. Камке, причем в нескольких случаях обнаружил там ошибки.
Отметим, что особенно педантичный читатель выскажет претензии по поводу точности некоторых утверждений из этой книги - и он будет прав. Переводчице Т. Д. Вентцель неоднократно приходилось вносить исправления мелких неточностей, возникших, видимо, из-за торопливости авторов книги. Но добиваться изысканной строгости абсолютно всех фраз книги мы сочли нецелесообразным. Мелкие внесенные в текст исправления, как правило, не оговариваются, несколько содержащих ошибки фрагментов были просто исключены.
Итак, серия «Современная математика. Вводные курсы» пополнилась еще одной книгой. Будем надеяться, что многие начинающие математики, познакомившись с ней, выберут дифференциальные уравнения своей специальностью или по крайней мере почувствуют вкус к прикладным задачам.
Примечание. Сохраняйте книги на планшет или смартфон и скачивайте их с Вашего AMP планшета или смартфона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный планшет или смартфон (в память устройства) и на Ваш компьютер через AMP интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.